Enunciado

Uma barra de aço de 15   m m de diâmetro foi dobrada como mostrado. Usando o método do trabalho e energia, determinar a deflexão na extremidade C , devida à força P de 200   N . Usar E = 200   G P a e G = 77   G P a .

Passo 1

Oi, pessoas! Como estão? Bora entender método de trabalho e energia através dessa questão?

Essa questão mostra uma barra A B C (que pode ser dividida em uma parte A B e outra B C ) sendo carregada com uma força P . Essa força faz a parte B C sofrer flexão e a barra A B sofrer torção e flexão. O enunciado quer saber quanto vale a deflexão y C na extremidade C devido à força P . A figura abaixo mostra o diagrama de corpo livre das duas partes da barra A B C .

O enunciado quer que a gente calcule y C através do método de trabalho e energia. Isso quer dizer que achamos y C , usando duas equações para calcular a energia total U que A B e B C absorvem. A primeira equação, calcula U a partir da força P . Dessa forma, conseguimos deduzir uma equação para y C .

U = P y C 2       ⟹       y C = 2 U P

A segunda equação, calcula U , somando a energia U B C absorvida pela parte B C com a energia U A B absorvida pela parte A B .

U = U A B + U B C

Para calcular U A B usamos a equação do exemplo 10.3 do livro que calcula justamente a energia de uma barra que sofre flexão por conta de uma força P e usamos a equação 10.22 do livro que calcula a energia absorvida por um eixo em torção que sofre com um torque M B . Ou seja, U A B é a soma de dois termos. Um relativo à flexão e outro relativo à torção.

U A B = U A B , f l e x ã o + U A B , t o r ç ã o       ⟹       U A B = P 2 L A B 3 6 E I A B + M B 2 L A B 2 G J A B

Para calcular U A B usamos a equação do exemplo 10.3 do livro que calcula justamente a energia de uma barra que sofre flexão por conta de uma força P .

U B C = P 2 L B C 3 6 E I B C

Agora que temos todas essas fórmulas, vamos começar a fazer as contas, calculando o valor dos momentos de inércia I A B e I B C de A B e de B C respectivamente e do momento polar J A B da parte A B .

Passo 2

Achamos J A B através da fórmula de momento de inércia polar para áreas circulares abaixo. Antes, devemos converter o diâmetro de m m pra m , multiplicando eles por 10 - 3 .

J A B = π × D A B 4 32       ⟹       J A B = π × 15 × 10 - 3 4 32       ⟹       J A B = 4,9701 × 10 - 9   m 4

Encontramos I A B e I B C através da fórmula do momento de inércia para áreas quadrangulares abaixo.

I A B = π D A B 4 64       ⟹       I A B = π 15 × 10 - 3 4 64       ⟹       I A B = 2 , 4850 × 10 - 9   m 4

I B C = π D B C 4 64       ⟹       I B C = π 15 × 10 - 3 4 64       ⟹       I B C = 2 , 4850 × 10 - 9   m 4

Agora temos que achar o momento M B para conseguir encontrar U B C !

Passo 3

Calculamos o momento M B , fazendo o equilíbrio de momentos da parte B C no ponto B . Como o momento da força P tende a fazer B C girar no senti horário, colocaremos um sinal de menos na frente dele. O equilíbrio de momento diz que a soma dos momentos M B e M P (momento da força P ) deve valer zero. Logo:

M B - M P = 0

No entanto, M P é a força P multiplicada pelo braço de alavanca L B C que vale 0,25   m se convertermos seu valor de m m pra m .

M B - P L A B = 0       ⟹       M B = P L A B       ⟹       M B = 200 × 0,25       ⟹       M B = 50   N m

Substituímos os dados nas equações de U A B e U B C para achar as energias de deformação. No entanto, antes disso converter o G e o E de G P a para P a , multiplicando G e E por 10 9 .

U A B = P 2 L A B 3 6 E I A B + M B 2 L A B 2 G J A B

U A B = 20 0 2 0,25 3 6 200 × 10 9 2 , 4850 × 10 - 9 + 50 2 0 , 2 5 3 2 77 × 10 9 4,9701 × 10 - 9

U A B = 0 , 2606   J

U B C = P 2 L B C 3 6 E I B C       ⟹       U B C = 200 2 0,25 3 6 200 × 10 9 2 , 4850 × 10 - 9       ⟹       U B C = 0,2096   J

Somando U A B com U B C , achamos U .

U = U A B + U B C       ⟹       U = 0 , 2606 + 0,2096       ⟹       U = 0 , 4702   J

Substituindo esse valor na fórmula de y C , achamos:

y C = 2 U P       ⟹       y C = 2 0,4702 200       ⟹       y C = 0,0047   m

Feshoooow! Acabamos a questão! Agora é só partir pro abraço! :)

Resposta

y C = 0,0047   m

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Resolver o Prob. 10.62, assumindo-se que ambas as porções da barra A B C são feitas de bronze.
Resolver o Prob. 10.64, assumindo que a barra C D de 20m m de diâmetro é substituída por outra de igual diâmetro, feita de um tipo de alumínio, para o qual E = 75G P a e σ a d m = 150M P a .
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O colar G de 48k g é abandonado da posição mostrada e deixado cair sobre a blaca B D F , que está fixa a uma barra de aço C D , de 20m m de diâmetro, e a duas outras barras de aço A B e E F , de 15m m