Enunciado

Uma barra de aço uniforme de diâmetro d é içada por cabos de um guindaste, amarrados em A e B . Pede-se: (a) determinar a distância a , entre as extremidades da barra e os pontos onde os cabos estão atados, para que o máximo valor absoluto do momento fletor na viga seja o menor possível; (b) determinar a correspondente tensão normal máximadevido à flexão, sabendo-se que d = 20 m m e L = 4 m e que para o aço ρ = 7850   k g / m 3 . (Veja a sugestão do Prob. 7.31)

Passo 1

Para resolver esse problema a gente tem que entender que conforme a distância a varia o nosso diagrama de momento fletor varia também. Quando a é muito pequeno ou muito grande o momento fletor máximo acaba ficando grande.

Logo, existe um ponto onde o maior momento fletor na barra é mínimo e é esse ponto que queremos achar.

Como a barra esta sustentada pelos dois cabos de forma simétrica cada cabo suportará metade do peso. Vamos definir o peso por unidade de comprimento como w assim o peso total será w L e vamos ter a seguinte configuração da barra:

Com isso a gente vai poder desenhar o momento fletor e achar o valor a de forma que o momento fletor seja mínimo, vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular a cortante e o momento fletor para cada seção da barra. Para a primeira parte vamos ter:

Assim, podemos calcular a força cortante:

V = - w x

E o momento fletor:

M = V x + w x x 2

M = - w x x + w x x 2

M = - w x 2 2

No ponto a vai valer:

M x = a = - w a 2 2

Passo 3

Agora para a seção intermediária:

A força cortante é calculada como:

V = w L 2 - w x

E o momento fletor:

M = V x + w x x 2 - w L 2 a

M = w L 2 - w x x + w x x 2 - w L 2 a

M = w L x 2 - w x 2 2 - w L a 2

Reorganizando:

M = w 2 ( x L - x 2 - a L )

No ponto médio vale:

M x = L 2 = w 2 L 2 L - L 2 2 - a L

M x = L 2 = w 2 L 2 2 - L 2 4 - a L

M x = L 2 = w 2 L 2 2 - a L

Passo 4

Agora vamos fazer o diagrama de momento fletor:

Para x < a :

M = - w x 2 2

Para a < x < L - a :

M = w 2 ( x L - x 2 - a L )

Para x > L - a :

M = - w x 2 2

A gente pode observar que os pontos máximos são em x = a e x = L / 2 . (Também tem o ponto x = L - a mas o valor vai ser o mesmo de x = a então não precisamos nos preocupar com esse ponto).

Para que tenhamos um valor mínimo a gente tem que dividir esses momentos máximos (absolutos) igualmente, ou seja, os dois valores devem ser iguais. Assim,

w a 2 2 = w 2 L 2 2 - a L

Simplificando:

a 2 = L 2 2 - a L

a 2 + a L - L 2 2 = 0

Aí a gente aplica bhaskara:

a = - L ± L 2 - 4 ( 1 ) ( - L 2 2 ) 2

a = - L ± L 2 + 2 L 2 2

a = - L ± L 3 2

a = L 2 ( - 1 ± 3 )

Como a deve ser positivo:

a = L 2 ( - 1 + 3 )

Pronto, resolvemos a letra A

Passo 5

Agora para a letra B basta substituir os valores, como os momentos fletores são iguais:

M = w a 2 2

Calculando a

a = 4 2 ( - 1 + 3 )

a = 0,366   m

Calculando w :

w = ρ × V o l u m e × g

w = ρ × L π r 2 × g

w = 7850 × 4 π 0,010 2 × 9,81

w = 96,77   N / m

Substituindo:

M = w a 2 2

M = 96,77 ( 0,366 ) 2 2

M = 6,48   N . m

Passo 6

Mas o problema não pediu o momento fletor, pediu a tensão. Então aplicando a equação da tensão normal:

σ = M c I

c = d 2 = 10   m m

E o momento de inércia é dado por:

I = π r 4 4 = π d 4 64

I = π × 0,02 4 64 = 7,85 × 10 - 9   m 4

Assim, vamos ter:

σ = M c I

σ = 6,48 × ( 0,010 ) 7,85 × 10 - 9

σ = 8,25   M P a

Resposta

a)

a = L 2 ( - 1 + 3 )

b)

σ = 8,25   M P a

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