Enunciado

A barra de alumínio fundido indicada na figura é feita de uma liga para a qual σ L T = 60   M P a e σ L C = 120   M P a . Usando o critério de Mohr, determine a intensidade do torque T para a qual se espera que ocorra a falha.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, nós vamos utilizar o critério de Mohr para materiais frágeis conforme visto na fig 7.38 nessa seção, onde temos o envoltório seguro, e se o ponto cair fora dele, quer dizer que temos ruptura. Para saber se o ponto está ou não dentro do envoltório, usaremos a seguinte relação:

σ a σ L T - σ b σ L C

Essa é a equação da reta no 4º quadrante da fig 7.38, em que σ a é a tensão em um extremo do círculo de Mohr (tensão máxima) e σ b é a tensão no outro extremo (tensão mínima). Então, se o valor encontrado nessa relação for maior que 1, quer dizer que o ponto está fora do envoltório e haverá ruptura, do contrário, a condição é segura.

Para calcular os σ , precisamos da tensão média e do raio do círculo de Mohr. Só que no nosso caso queremos descobrir a tensão de cisalhamento para a qual se espera que ocorra falha. Então, vamos escrever as tensões σ e o raio do círculo de Mohr em função da tensão de cisalhamento e depois igualar a equação mostrada à 1, para encontrar a tensão de cisalhamento no caso limite. Depois de obtermos a tensão de cisalhamento, basta aplicar a equação para a tensão de cisalhamento gerada pelo torque aplicado em uma seção circular, dada por:

τ x y = T c J

Isolando o valor do torque chegamos na resposta. Então bora lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Beleza, nós sabemos que a tensão na direção x é gerada pela força P, ou seja:

σ x = P A

Então, vamos calcular a área da seção transversal, que será dada por:

A = π d 2 4 = π 0,032 2 4 → A = 804,248.10 - 6   m 2

Então, a tensão na direção x será:

σ x = P A = 26.10 3 804,248.10 - 6 → σ x = 32,33   M P a

E, no nosso caso, não temos nenhuma tensão na direção y, então teremos:

σ y = 0

Substituindo os valores conhecidos na equação do raio para o círculo de Mohr, chegamos em:

R = ( 32,33 ) - 0 2 2 + τ x y 2 → R = 16,165 2 + τ x y 2

Agora vamos calcular a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 32,33 + 0 2 → σ m e d = 16,165   M P a

Passo 3

Agora, com os valores da tensão média e do raio do círculo, podemos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde temos:

σ a = σ m e d + R = 16,165 + 16,165 2 + τ x y 2

σ b = σ m e d - R = 16,165 - 16,165 2 + τ x y 2

Agora podemos utilizar a equação que vimos lá no passo 1, onde temos:

σ a σ L T - σ b σ L C

Então, substituindo os valores conhecidos na equação acima, teremos:

16,165 + 16,165 2 + τ x y 2 60 - 16,165 - 16,165 2 + τ x y 2 120 = 1

16,165 60 + 16,165 2 + τ x y 2 60 - 16,165 120 + 16,165 2 + τ x y 2 120 = 1

16,165 2 + τ x y 2 1 60 + 1 120 = 0,8653

16,165 2 + τ x y 2 = 34,612 → τ x y = 30,6   M P a

Passo 4

Beleza! Com essa tensão de cisalhamento, vamos utilizar a equação para a tensão de cisalhamento causada por torção, onde temos:

τ x y = T c J

Em que c é a distância do centro do eixo até o ponto de interesse e J é o momento polar de inércia. No nosso caso, nosso c será o raio do eixo, já que esse é o ponto de máxima tensão de cisalhamento, então teremos:

c = d 2 = 0,032 2 → c = 0,016   m

Agora, nosso momento polar de inércia será dado por:

J = π c 4 2 = π 0,016 4 2 → J = 102,944.10 - 9   m 4

Então, isolando o torque da equação do cisalhamento teremos:

T = J τ x y c

E, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

T = 102,944.10 - 9 30,6.10 6 0,016 → T = 196,9   N . m

Opa! Esse é o torque máximo que pode ser aplicado no nosso eixo! Terminamos mais um exercício, valeeu!

Resposta

T = 196,9   N . m

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