Enunciado

Para a barra composta indicada, determine o maior momento fletor admissível quando a barra é flexionada em torno do eixo vertical. Barra do problema 4.33 .

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Vamos transformar então o alumínio em uma correspondente em latão.

n = E a l u m í n i o   E l a t ã o   = 70 105 = 0,667

E aqui temos um conceito novo, queremos fazer todos os cálculos ao redor do eixo vertical, certo? Mas todas as contas que aprendemos para eixos horizontais, certo? Então é muito simples, basta virar a seção e fazer os cálculos normalmente como já aprendemos, assim a nossa seção será usada da seguinte maneira:

para mudarmos a largura do alumínio(parte amarela) precisamos fazer a seguinte conta.

b ' = n b = 0,667   .   30 = 20   m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

Nosso objetivo é determinar os momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ x = - M y I

E se verificarmos a estrutura que foi transformada, teremos que usar a seguinte equação:

σ x = - n M y I

Agora já podemos determinar o momento de inércia.

Passo 2

Agora que temos a LN, e todas as seções mais simples tem o centroide coincidindo com o centroide da peça, podemos determinar o momento de inércia, e o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + I 2 + I 3

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   , I 2   e   I 3 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples. Assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

I 1 = I 3 = b h 3 12 = 6 × 30 3 12 = 13500   m m 4

I 2 = b h 3 12 = 20 × 30 3 12 = 45000   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = 13500 + 45000 + 13500

I = 72000   m m 4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Calculando primeiro o latão:

σ a d m = + 160   M P a = 160 N m m 2

y - - = - 15 m m

I = 72000   m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

160 N m m 2 = - M   .   ( - 15 ) m m 72000   m m 4

M = 768000   N m m = 768   N m

E analisando agora o alumínio teremos que lembrar de acrescentar o fator de mudança   n :

σ a d m = 100 M P a = 100 N m m 2

y - - = - 15 m m

I = 72000   m m 4

σ x = - n M y I

Substituindo, teremos que:

- 100 N m m 2 = - 0,667 M   . ( - 15 ) m m 72000   m m 4

M = 719640   N m m = 720   N m

Como temos as tensões admissíveis, sabemos que ao momento que podemos aplicar será o menor dos que são dados acima, além dos mais, o maior momento dos dois irá romper a menor resistência, enquanto que o menor momento, garante a menor resistência e não afeta a maior, sendo assim teremos que:

M = 720   N m

Resposta

M = 720   N m

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