Enunciado

Um momento fletor M = 2   k N m deve ser aplicado à extremidade de uma barra de aço. Determine a tensão máxima na barra:

  1. Considerando que a barra foi projetada com ranhuras semicirculares de raio r = 10 m m , como mostra a F i g . 4.65 a ,e.
  2. Se a barra for reprojetada com a remoção do material à esquerda e a direita das linhas tracejadas, como mostra a F i g . P 4.65 b .

Passo 1

Nesse caso queremos determinar a máxima tensão que age na nossa estrutura, porém, precisamos notar que aqui estamos falando da um caso de concentração de tensões, e para casos de concentração de tensões, temos fórmulas especificas, dadas por:

σ = k M y I

E cada terminho desse é bem tranquilo de determinar, beleza? Então vamos lá, começar resolvendo tudo referido ao item A).

Passo 2

Vamos então ir determinando cada termo antes de usarmos na nossa equação, assim, temos que:

  • Momento fletor
  • Esse é bem tranquilo, já que o enunciado já nos dá a tensão, assim, temos que:

    M = 2   k N m = 2000000   N m m

  • I (momento de inércia)
  • Temos aqui duas seções, certo? Qual das duas usar? Pensa no seguinte, o momento vai ser o mesmo na seção maior e na seção menor, certo? Se ele fosse uma força(presta atenção, no caso ele não é, mas vamos supor que seja) se ele fosse uma força, onde surgiria a maior tensão? Na menor área ou na maior área? Pegou o esquema? Se queremos a MÁXIMA TENSÃO, temos que usar A MENOR SEÇÃO.

    Como ela é retangular, basta usarmos a seguinte fórmula:

    I = b h 3 12

    O valor de b é a espessura da nossa seção, e essa é comum ao item a) e b), assim teremos que:

    b = 18   m m

    h = 100   m m

    I = 18 × 100 3 12 = 1500000   m m 4

  • Y
  • Esse você nem vai acreditar, usamos a menor seção para a inércia, certo? Ou seja, se estamos na menor seção, o y é a metade da altura da menor seção.

    y = h 2 = 100 2 = 50   m m

    E veja só, agora só precisamos do valor de k , certo? Como o calculo dele é um pouquinho diferente, vamos determinar ele no próximo passo.

    Passo 3

    Para determinarmos o valor de k , precisamos de um diagrama que nos dá o coeficiente de concentração de tensões, e para esse tipo de seção, esse diagrama é dado por:

    E sabemos que a nossa seção é dada por:

    r d = 10 100 = 0,1

    D d = 150 100 = 1,5

    E assim olhando o nosso diagrama, teremos o seguinte k .

    Passo 4

    Agora que temos tudo, podemos calcular as tensões máximas em cada um dos nossos itens, assim, teremos que:

    σ = k M y I

    σ = 2,21 2000000   [ N m m ] × 50   [ m m ] 1500000   [ m m 4 ]

    σ = 147   N m m 2 = 147   M P a

    Agora vamos calcular o item B).

    Passo 5

    E vamos usar a mesma fórmula do item A) mas com algumas diferenças.

    σ = k M y I

    E cada terminho desse é bem tranquilo de determinar, beleza? Então vamos lá.

    Vamos então ir determinando cada termo antes de usarmos na nossa equação, assim, temos que:

  • M (momento fletor)
  • Esse é bem tranquilo, já que o enunciado já nos dá o momento, assim, temos que:

    M = 2   k N m = 2000000   N m m

  • I (momento de inércia)
  • Temos aqui duas seções, certo? Qual das duas usar? Pensa no seguinte, o momento vai ser o mesmo na seção maior e na seção menor, certo? Se ele fosse uma força(presta atenção, no caso ele não é, mas vamos supor que seja) se ele fosse uma força, onde surgiria a maior tensão? Na menor área ou na maior área? Pegou o esquema? Se queremos a MÁXIMA TENSÃO, temos que usar A MENOR SEÇÃO.

    Como ela é retangular, basta usarmos a seguinte fórmula:

    I = b h 3 12

    Como a menor seção é a espessura tem 18 m m de base por 100 m m de altura, teremos que:

    I = 18 × 100 3 12 = 1500000   m m 4

  • Y

Esse você nem vai acreditar, usamos a menor seção para a inércia, certo? Ou seja, se estamos na menor seção, o y é a metade da altura da menor seção, como a menor seção tem 100 m m de altura, teremos que:

y = 100 2 = 50   m m

E veja só, agora só precisamos do valor de k , certo? Como o calculo dele é um pouquinho diferente, vamos determinar ele no próximo passo.

Passo 3

Para determinarmos o valor de k , precisamos de um diagrama que nos dá o coeficiente de concentração de tensões, e para esse tipo de seção, esse diagrama é dado por:

E sabemos que a nossa seção é dada por:

E veja que podemos determinar a nossa curva pela seguinte relação:

D d = 150 100 = 1,5

E precisamos da relação para o eixo horizontal dado por r / d

r d = 10 100 = 0,1

E assim olhando o nosso diagrama, teremos o seguinte k .

Passo 4

Agora que temos tudo, podemos calcular as tensões máximas em cada um dos nossos itens, assim, teremos que:

σ = k M y I

σ = 1 , 79 2000000   N m m × 50   [ m m ] 1500000   [ m m 4 ] = 119 N m m 2 = 119   M P a

Resposta

  1. σ = 147   M P a
  2. σ = 119   M P a
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