Enunciado

A barra com diâmetro de 50   mm está presa em suas extremidades e suporta a carga axial P . Se o material for elástico perfeitamente plástico como mostra o diagrama tensão-deformação, determine a menor carga P necessária para provocar o escoamento do segmento C B . Se essa carga for liberada, determine o deslocamento permanente do ponto C .

Passo 1

OBS: o enunciado tem um erro fatal! Procurar P para o escoamento de A C torna o resto da questão trivial. Resolva procurando P para o escoamento da seção C B ! Relaxa que vai ficar tudo claro!

Uma barra horizontal entre suportes rígidos em A e B sofre um carregamento P para esquerda em C .

Características da barra:

  • Limite de escoamento:   σ e = 140   MPa , ϵ e = 0,001 . (Gráfico)
  • Módulo de elasticidade: E = 140   MPa / 0,001 = 140   GPa . (Gráfico)
  • Área transversal: A = π ⋅ 50 2 / 4 = 1963,495   mm 2 .
  • Comprimentos iniciais: L A C = 0,6   m , L C B = 0,9   m .
  • Material elastoplástico.

Queremos descobrir qual o menor valor necessário para a carga P que faça a seção C B escoar.

Depois, queremos saber qual é o deslocamento permanente δ C do ponto C após P ser retirado.

Uma coisa de cada vez. O menor valor para P causar o escoamento de C B é no instante em que a tensão em C B atingir o limite de escoamento σ e = 140   MPa . Vamos atrás disso então!

Passo 2

Antes de sair fazendo conta, vamos pensar um pouco: já dá pra descobrir qual seção escoa primeiro?

Bem, a ação da força P vai deslocar C algum comprimento δ para esquerda. Isso vai deformar as seções, comprimindo A C e esticando C B o mesmo comprimento   δ ! A definição de deformação é pegarmos justamente esse deslocamento e dividirmos pelo tamanho inicial:

ϵ = δ L

Aí que vem a sacada! Perceba que L A C < L C B ! Como é o mesmo δ , temos que sempre

ϵ A C >   ϵ C B

Show! Então a seção A C sempre escoa primeiro, porque ela chega na deformação ϵ e = 0,001 antes!

Por causa dessa sacada, a gente não precisa conferir nada de regime elástico! Quando C B entrar no regime plástico, a seção A C já vai ter escoado!

Agora vamos ver como ficam as forças com a barra inteira em regime plástico!

Passo 3

Beleza, então depois desse blá blá blá todo, vamos pras contas!

Estamos procurando uma força ( P ), então vamos ver como está o equilíbrio. Só tem uma direção, as reações F A e F B vão resistir o carregamento.

∑ F = 0           →           F A + F B = P

Queremos o valor de P quando a seção C B começa a escoar. Então a reação F B que está tracionando C B tem que gerar uma tensão

σ C B = σ e = 140   MPa

Pela fórmula da tensão, já podemos achar F B !

σ = F A             →           F B = 140   MPa ⋅ 1963,495   mm 2 = 274,889   kN

Como vimos no Passo 2, quando C B escoar, a seção A C já vai estar em regime plástico. O material é elastoplástico, então a tensão se mantém sendo

σ A C = σ e = 140   MPa

De novo, pela fórmula da tensão:

σ = F A             →           F A = 274,889   kN

Passo 4

Já matamos a primeira parte da questão!

F A + F B = P           →           P = 274,889   kN + 274,889   kN

P = 549,778   kN

Isso é tudo que nos interessa a respeito da barra estar carregada:

  • A C : regime plástico, compressão, σ A C = 140   MPa .
  • C B : regime plástico, tração, σ C B = 140   MPa .

Agora bora ver o que acontece quando tiramos o carregamento P ! Queremos descobrir o deslocamento permanente de C !

Passo 5

Quando a força P for retirada, ocorrerá um pouco de recuperação elástica da barra. Porém, os apoios irão resistir essa recuperação, e teremos tensões residuais como resultado disso tudo.

O jeito fácil é pensar com o princípio da superposição: imagine uma força P ' contrária ao carregamento, ou seja, empurrando para direita em C ! A recuperação é elástica, então precisamos resolver o problema no regime elástico para descobrir quais tensões são induzidas.

Vamos marcar como σ ' essas tensões da recuperação. Vejamos a compatibilidade dos deslocamentos.

Para não se confundir, veja na figura como ficam as forças internas F ' na recuperação elástica.

Princípio da superposição vai facilitar aqui também. Olhe para o ponto A .

  • O carregamento P ' puxa a seção A C para direita, movendo A para direita um comprimento δ P .
  • A reação F B ' empurra a barra toda ( A B ) para esquerda, então A vai para a esquerda um comprimento δ F B .

Como o apoio é rígido em A (não se move), esses efeitos tem que se anular:

δ P = δ F B

Estamos tratando de regime elástico. Relação carga-deslocamento

δ = F   L A   E

P '   L A C A   E = F B '   L A   E           →         σ C B ' = P ' A L A C L

σ C B ' = 280   MPa ⋅ 0,6   m 1,5   m = 112   MPa

Passo 6

Lembrando que calculamos P para a situação em que C B começa a escoar, a recuperação elástica vai levar a seção de volta ao regime elástico! Então a tensão residual em C B segue a Lei de Hooke:

σ r e s C B = E ϵ r e s C B

Vejamos como fica σ r e s C B . Na seção C B , temos tração (positivo) de + 140   MPa e recuperação (compressão, negativo) de - 112   MPa . Então:

σ r e s C B = 140 - 112 = 28   MPa

Tensão residual positiva! Tração. O ponto C vai terminar indo para esquerda um comprimento δ C .

Finalmente, para achar o valor de δ C :

ϵ r e s C B = 28   MPa 140   GPa = 0,2 ⋅ 10 - 3

ϵ r e s C B = δ C L C B           →         δ C = 0,18   mm

Resposta

Carga: P = 549,778   kN .

Deslocamento permanente de C :     δ C = 0,18   mm para esquerda.

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