Enunciado

A viga rígida é sustentada por três cabos de aço A- 36 , cada um com comprimento de 1,2   m . A área de seção transversal de A B e E F é 10   mm 2 , e a área da seção transversal de C D é 4   mm 2 . Determine a maior carga distribuída w que pode ser suportada pela viga antes que qualquer dos cabos comece a escoar. Se considerarmos que o aço é elástico perfeitamente plástico, determine até que distância a viga é deslocada para baixo exatamente antes de todos os cabos começarem a escoar.

Passo 1

Três cabos de aço mantêm horizontal uma viga rígida. Um carregamento linearmente distribuindo w puxa a viga para baixo.

Características dos cabos:

  • Aço A- 36 : E = 200   GPa , σ e = 250   MPa . (Tabelado)
  • Área dos cabos laterais: A L = 10   mm 2 . Área do cabo central: A C = 4   mm 2 .
  • Comprimento inicial: L = 1,2   m .

Queremos saber o maior valor que o carregamento linearmente distribuído w pode ter sem que nenhum cabo escoe!

Depois, a questão também quer que encontremos qual o deslocamento δ para baixo que a viga sofre com o carregamento.

Passo 2

Diagrama de corpo livre.

Pela simetria ao redor de C (equilíbrio de momentos), chegamos em:

∑ M C = 0           →           F A = F E

Pra facilitar, vamos chamar de F L = F A = F E .

Agora vamos pro equilíbrio de forças. Atenção que a força equivalente gerada pelo carregamento é o tamanho da viga vezes w .

∑ F = 0           →           2 F L + F C = 3   m ⋅ w

Queremos o w ! Precisamos de mais relações. Vamos ver o que a condição de compatibilidade nos dá.

Passo 3

O carregamento vai levar a viga para baixo, esticando os cabos. Devido à simetria e ao carregamento estar distribuído uniforme, a viga permanece horizontal. Então todos os cabos tem que esticar o mesmo comprimento!

δ L = δ C

Essa é a compatibilidade entre os cabos laterais e o central. Usando a relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

F L   L A L   E   = F C   L A C   E

Podemos substituir os valores e achar uma relação entre as forças. Mas antes disso, vamos ser espertos pra fazer menos conta!

Passo 4

Queremos o valor máximo de P considerando que nenhum dos cabos pode sair do regime elástico! Então esse valor máximo acontece assim que um dos cabos alcançar o limite de escoamento! Temos que descobrir quem escoa primeiro.

Usando a fórmula da tensão, σ = F / A , podemos reescrever a condição de compatibilidade já tratando das tensões!

F L A L = F C A C           →           σ L = σ C

Eita! Isso quer dizer que enquanto estivermos no regime elástico, as tensões nos três cabos é sempre a mesma! Como todos os cabos tem o mesmo limite de escoamento σ e = 250   MPa , todos irão alcançar o limite ao mesmo tempo!

A força máxima que cada cabo pode aguentar sem escoar é quando σ = σ e .

σ = F A           →         F L A L = σ e

F L = 2,5   kN

Show! Agora vejamos a força máxima no cabo central antes que ele escoe:

F L A L = F C A C           →           F C = 1,0   kN

Passo 5

Voltando para a condição de equilíbrio, podemos substituir F L = 2,5   kN e F C = 1,0   kN para achar o valor máximo de w que o conjunto todo suporta antes de escoar:

2 F L + F C = 3   m ⋅ w           →           w = 2 ⋅ 2,5   kN + 1,0   kN 3   m

w = 2   kN/m

Passo 6

Agora, para achar o deslocamento, como ainda estamos em regime elástico, podemos usar a relação carga-deslocamento! E com qualquer uma das forças, porque δ L = δ C .

δ = F   L A   E           →           δ C = 1,0   kN ⋅ 1,2   m 4   mm ⋅ 200   GPa

δ = 1,5   mm

Resposta

Carga: w = 2   kN/m .

Deslocamento: δ = 1,5   mm .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o Problema 4.106 se o diagrama de tensão-deformação for definido por σ = c ϵ 3 / 2 .
O peso de 1500kN ( ≈ 150t ) é assentado lentamente no topo de um poste feito de alumínio 2014 -T 6 com núcleo de aço A- 36 . Se ambos os materiais puderem ser considerados elásticos perfeitamente plás
O peso é suspenso por cabos de aço e alumínio, cada um com o mesmo comprimento inicial de 3m e área de seção transversal de 4mm 2 . Se considerarmos que os materiais são elásticos perfeitamente plásti
A viga é suportada pelos três postes A , B e C de comprimentos iguais. Os postes A e C têm diâmetro de 75mm e são feitos de alumínio, para o qual E a l = 70GPa e σ e , a l = 20MPa . O poste B tem diâm
A haste do parafuso de aço com 10mm de diâmetro está embutida em uma luva de bronze. O diâmetro externo dessa luva é 20mm . Se a tensão de escoamento for σ e , a ç o = 640MPa ç para o aço e σ e , b r