Enunciado

A viga é suportada pelos três postes A , B e C de comprimentos iguais. Os postes A e C têm diâmetro de 60   mm e são feitos de alumínio, para o qual E a l = 70   GPa e σ e , a l = 20   MPa . O poste B é feito de latão, para o qual E l a t = 100   GPa e σ e , l a t = 590   MPa . Se P = 130   kN , determine o maior diâmetro do poste B , de modo que todos os postes sofram escoamento ao mesmo tempo.

Passo 1

Três postes apoiam uma viga rígida. Dois carregamentos P = 130   kN são aplicados.

Características dos postes A e C :

  • Alumínio: E a l = 70   GPa , σ e , a l = 20   MPa .
  • Área transversal: A a l = π ⋅ 60 2 / 4 = 2827,433   mm 2 .
  • Características do poste B :

  • Latão: E l a t = 100   GPa , σ e , l a t = 590   MPa .
  • Área transversal: A l a t = π ⋅ d l a t 2 / 4 . (diâmetro d l a t desconhecido!)

Queremos descobrir o maior diâmetro d l a t para que todos os postes escoem ao mesmo tempo!

Vamos precisar que a tensão em cada poste seja igual a sua tensão de escoamento. Fórmula da tensão:

σ = F A

Temos que achar forças e áreas (o tal diâmetro d l a t !) que garantam o que queremos.

Passo 2

Diagrama de corpo livre.

Equilíbrio de momentos ao redor de B :

∑ M B = 0           →           4 ⋅ F A + 2 ⋅ P = 2 ⋅ P + 4 ⋅ F C

F A = F C

Beleza, é o que esperávamos mesmo por causa da simetria. Pra facilitar, vamos usar F a l = F A = F C e F l a t = F B .

Agora vejamos o equilíbrio de forças:

∑ F = 0           →           2 F a l + F l a t = 2 P  

Passo 3

Queremos que os postes escoem ao mesmo tempo, então estamos procurando uma configuração que faça σ a l = σ e , a l e σ l a t = σ e , l a t ! Usando a fórmula da tensão pros postes de alumínio:

σ a l = σ e , a l           →           20   MPa = F a l 2827,433   mm 2

F a l = 56,549   kN

Agora retornando ao equilíbrio de forças, com P = 130   kN :

2 F a l + F l a t = 2 P             →           F l a t = 146,902   kN

Beleza, achamos as forças! Vejamos como fica a área do poste B .

Passo 4

Como dito no Passo 3 , queremos σ l a t = σ e , l a t exatamente!

σ e , l a t = F l a t A l a t             →           A l a t = 248,99   mm 2

Necessariamente precisamos que a área seja esse valor! O que temos para controlar isso é o diâmetro do poste B :

A l a t = π ⋅ d l a t 2 4             →           d l a t = 248,99   mm 2 ⋅ 4 π

d l a t = 17,80   mm

Resposta

Diâmetro: d l a t = 17,80   mm .

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