Enunciado

A força P é aplicada à barra, a qual é composta por um material elástico perfeitamente plástico. Construa um gráfico para mostrar como a força varia em cada seção A B e B C (ordenadas) à medida que P (abcissa) aumenta. A barra tem áreas de seção transversal de 625   mm 2 na região A B e 2500   mm 2 na região B C e σ e = 210   MPa .

Passo 1

Uma barra horizontal de material elastoplástico está apoiada entre duas paredes. Uma força P é aplicada em B para direita.

Características da barra:

  • Tensão de escoamento:   σ e = 21 0   MPa .
  • Áreas transversais: A A B = 625   mm 2 , A B C = 2500   mm 2 .
  • Comprimentos iniciais: L A B = 150   m m , L B C = 50   mm .
  • Material elastoplástico.

Precisamos caracterizar o valor das forças internas nas seções A B e B C de acordo com P , para construir um gráfico! Vamos considerar P conhecido.

Primeiro vamos ver como as forças internas ficam no regime elástico. Aí a gente investiga o que acontece quando P aumenta muito.

Passo 2

Beleza, no regime elástico é mole! Começamos com equilíbrio de forças. As reações F A e F C dos apoios vão resistir o carregamento.

∑ F = 0           →           F A + F C = P

A força F A é o esforço da seção A B , que está tracionando. E a força F C é o esforço em B C , que está comprimindo.

Precisamos de mais uma equação. Vamos pra compatibilidade.

Passo 3

Vamos pensar com o princípio da superposição. Olhe para o ponto C .

  • O carregamento P puxa a seção A B para direita, movendo C para direita um comprimento δ P .
  • A reação F C empurra a barra toda ( A C ) para esquerda, então C vai para a esquerda um comprimento δ F C .

Como o apoio é rígido em C (não se move), esses efeitos tem que se anular:

δ P = δ F C

Estamos tratando de regime elástico, então podemos usar relação carga-deslocamento. Atenção para a variação de área!

δ = F   L A   E

P   L A B A A B   E = F C   L A B A A B   E + F C   L B C A B C   E           →         P = F C + L B C A B C ⋅ A A B L A B ⋅ F C

F C = 0,923 077 P

E retornando ao equilíbrio de forças:

F A + F C = P           →           F A = 0,07 6923 P

Beleza, pro regime elástico a gente já tem tudo que precisa! Vamos pro regime plástico.

Passo 4

A barra vai entrar em regime plástico quando a tensão em uma das seções ultrapassar σ e = 210   MPa . Primeiro passa é descobrir quem alcança isso primeiro.

Bem, a ação da força P vai deslocar B algum comprimento δ para direita. Isso vai deformar as seções, comprimindo B C e esticando A B o mesmo comprimento   δ ! A definição de deformação é pegarmos justamente esse deslocamento e dividirmos pelo tamanho inicial:

ϵ = δ L

Aí que vem a sacada! Perceba que L B C < L A B ! Como é o mesmo δ , temos que sempre

ϵ B C >   ϵ A C

Show! Então a seção B C sempre escoa primeiro!

Vejamos que valor de P faz B C escoar, e aí vamos aumentando!

Passo 5

A seção B C vai escoar quando F C = 0,923077 P causar tensão σ e = 210   MPa . Pela fórmula da tensão:

σ B C = F C A B C             →           F e C = 210   MPa ⋅ 2500   mm 2 = 525   kN

Isso vai ocorrer quando o carregamento for

F e C = 0 , 923077 P e C B             →           P e C B = 568,75   kN

Podemos usar relação aqui porque a barra está no limite do regime elástico!

O valor correspondente de F A será

F 1 A = 0,076923 P e C B             →           F 1 A = 43,75   kN

A força na seção B C vai permanecer em F e C por causa do comportamento elastoplástico.

Bora, em frente! Vamos aumentar mais o valor de P e achar quando a seção A B também escoa!

Passo 6

A seção A B vai escoar quando F A causar tensão σ e = 210   MPa . Pela fórmula da tensão:

σ A B = F A A A B             →           F e A = 210   MPa ⋅ 625   mm 2 = 131,25   kN

Não podemos mais usar as relações do Passo 3! Estamos em regime plástico agora! Para achar o P correspondente, lembre-se que a força na seção B C continua sendo F e C = 525   kN (elastoplástico!). Aplique o equilíbrio de forças:

F e A + F e C = P e A B           →           P e A B = 656,25   kN

E pronto! Esse é o máximo que a barra consegue aguentar. Se aumentarmos mais o P , as forças internas vão continuar como F e A e F e C , não vão balancear P , e a barra vai continuar deformando.

Agora é só ser artista e colocar isso tudo em um gráfico!

Passo 7

Resposta

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