Enunciado

A barra esbelta homogênea tem uma seção transversal uniforme e está dobrada na forma mostrada. Calcule a coordenada y do centro de massa da barra. (Lembrete: O comprimento do arco diferencial é d L = d x 2 + d y 2 = 1 + d x d y 2 d y ).

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centro de massa da barra é dado por:

  y - =   ∫ y c d L L  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar o comprimento do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de comprimento, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de comprimento vamos integrar ele em relação a y e temos o nosso comprimento, de modo que a questão já nos dá uma dica de quem é d L . Dessa maneira:

L = ∫ d L = ∫ 0 100 1 + d x d y 2 d y

Agora precisamos encontrar a função que corresponde a curva, dessa maneira como é um arco, este pode ser descrito por uma parábola,

x = k y 2 = 1 100 y 2

Desta forma, se derivarmos x em função de y, teremos:

d x d y = 1 50 y

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira o comprimento é dado por:

L = ∫ 0 100 1 + d x d y 2 d y = ∫ 0 100 1 + y 50 2 d y

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nossa área, sendo assim:

L = 1 50 ∫ 0 100 50 2 + y 2 d y  

Portanto:

L = 1 50 * 2 y 50 2 + y 2 + 50 2 ln ⁡ y + 50 2 + y 2 100 0 = 147,9   m m

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centro de massa na coordenada y, vamos resolver a integral:

∫ y c d L

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Logo,

∫ y c d L =   1 50 ∫ 0 100 y 50 2 + y 2 d y

∫ y c d L = 1 50 * 1 3 50 2 + y 2 3 2 | 100 0 = 8480   m m 2    

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de integrais em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

y - = ∫ y c d L L = 8480 147,9 = 57,4   m m  

Resposta

  y - =   57,4   m m  

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