Enunciado

90- Determine o volume V e área superficial total A do sólido gerado pela revolução da área mostrada por 180 graus em torno de eixo z .

Passo 1

Desenhando a área transversal nos eixos z e x temos:

Passo 2

O centroide em x das áreas 1 e 2 são iguais e são:

x 1 - = x 2 - = 75 + 40 = 115 [ m m ]

E as áreas são respectivamente:

A 1 = π × 40 2 2 = 2513.27   m m 2

Agora a área do 2 é:

A 2 = 30 × 2 × 40 = 2400   m m 2

Logo a área total será : A t = 4913.27   m m 2

E o comprimento das linhas são:

Comprimento da linha 1:

L 1 = 2 π × 40 2 = 40 π

E o comprimento da linha 2:

L 2 = 2 × 30 + 80 = 140

Só se conta uma vez o comprimento de uma linha

Passo 3

Para calcular a área superficial utilizando o teorema de Pappus para 180 graus de rotação se faz:

A = π x - L t o t a l

A = π 115 × 140 + 40 π = 95.979.82   m m 2

Porém tem as áreas das faces para calcular também, que será:

A f a c e s = 2 × 80 × 30 + π × 40 2 2 = 9826.55   m m 2

Logo a área superficial total será:

A = 9826.55 + 95979.82 = 105806.37   m m 2

Passo 4

E para calcular o volume pelo teorema de Pappus, com 180 graus de rotação:

V = π x - A t o t a l

V = π 115 × 4913.27 = 1.775 × 10 6   [ m m 3 ]

Resposta

A = 105806.37   m m 2   m m 2

V = 1.775 × 10 6   m m 3

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