Enunciado

A barra rígida A B C D é suspensa por três cabos idênticos, como indicado. Sabendo-se que a = b , determinar a tração em cada cabo, causada pela carga P aplicada em C .

Passo 1

Com a aplicação da carga P haverá, além das forças nos cabos, uma deflexão na barra. A partir da equação de equilíbrio estático, da geometria e das equações de deflexão de cada cabo vamos conseguir achar as trações.

Passo 2

Vamos fazer, primeiramente, o diagrama de corpo livre da barra.

Aplicando a soma das forças em y

∑ F y = 0

F A + F B - P + F D = 0

F A + F B + F D = P

Com as relações de equilíbrio estático vamos aplicar o momento em qualquer ponto, no caso o ponto A

∑ M A = 0

- F B ⋅ a + P ⋅ a + b - F D ⋅ a + b + b = 0

como a = b

- F B ⋅ a + P ⋅ 2 a - F D ⋅ 3 a = 0

2 a ⋅ P = a ⋅ F B + 3 a ⋅ F D

Simplificando por a

F B + 3 ⋅ F D = 2 ⋅ P

Obtendo assim duas equações:

F A + F B + F D = P

F B + 3 ⋅ F D = 2 ⋅ P

Passo 3

Agora vamos analisar a geometria, quando há a deflexão.

Os pontos A B C D foram mudados para as posições A ' B ' C ' D ' . Se traçarmos uma paralela (pontilhada) vamos observar que as deflexões serão dadas da seguinte forma:

δ B = δ A + a ⋅ θ

δ C = δ A + ( a + b ) ⋅ θ

δ D = δ A + ( a + b + b ) ⋅ θ

Como a = b

δ B = δ A + a ⋅ θ

δ C = δ A + 2 a ⋅ θ

δ D = δ A + 3 a ⋅ θ

Passo 4

Agora vamos calcular cada deflexão:

δ A = F A ⋅ L A ⋅ E

Como os três cabos são idênticos, o único termo que irá mudar é o termo da força, logo:

δ B = F B ⋅ L A ⋅ E

δ D = F D ⋅ L A ⋅ E

E δ C será obtido a partir da relação do passo 3.

Passo 5

Vamos juntas as equações do passo 4 com as do passo 5, assim vamos ter:

1)

δ B = δ A + a ⋅ θ

F B ⋅ L A ⋅ E = F A ⋅ L A ⋅ E + a ⋅ θ

Isolando as forças

F B = F A + a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L

2)

δ D = δ A + 3 a ⋅ θ

F D ⋅ L A ⋅ E = F A ⋅ L A ⋅ E + 3 a ⋅ θ

Isolando as forças

F D = F A + 3 a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L

Agora substituímos na equação

F B + 3 ⋅ F D = 2 ⋅ P

Obtendo

F A + a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L + 3 ⋅ F A + 3 a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = 2 ⋅ P

F A + a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L + 3 ⋅ F A + 9 a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = 2 ⋅ P

4 ⋅ F A + 10 a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = 2 ⋅ P

Isolando o termo a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E /   L

10 a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = 2 ⋅ P - 4 ⋅ F A

a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = 2 ⋅ P - 4 ⋅ F A 10

Passo 6

Com isso vamos aplicar a outra equação também para descobrir F A

F A + F B + F D = P

F A + F A + a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L + F A + 3 a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = P

3 ⋅ F A + 4 a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = P

Como a gente já isolou o termo ( a ⋅ θ ⋅ A ⋅ E ) / L podemos substitui-lo agora

3 ⋅ F A + 4 ⋅ 2 ⋅ P - 4 ⋅ F A 10 = P

3 ⋅ F A + 8 ⋅ P - 16 ⋅ F A 10 = P

Multiplicando os dois lados por 10

30 ⋅ F A + 8 ⋅ P - 16 ⋅ F A = 10 ⋅ P

30 ⋅ F A - 16 ⋅ F A = 10 ⋅ P - 8 ⋅ P

14 ⋅ F A = 2 ⋅ P

F A = 2 ⋅ P 14

F A = P 7

Agora podemos substituir em

F A + F B + F D = P

F B + 3 ⋅ F D = 2 ⋅ P

Obtendo duas novas equações

P 7 + F B + F D = P

F B + 3 ⋅ F D = 2 ⋅ P

Subtraindo a primeira pela segunda

P 7 + F D - 3 ⋅ F D = P - 2 ⋅ P

- 2 ⋅ F D = - P - P 7

2 ⋅ F D = P + P 7

2 ⋅ F D = 8 P 7

F D = 4 P 7

E finalmente vamos ter

F A + F B + F D = P

P 7 + F B + 4 P 7 = P

F B = P - P 7 - 4 P 7

F B = 2 P 7

Portanto temos as nossas trações

F A = P 7

F B = 2 P 7

F D = 4 P 7

Resposta

F A = P 7

F B = 2 P 7

F D = 4 P 7

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