Enunciado

A barra rígida A B C D é suspensa por três cabos idênticos, como indicado. Sabendo-se que a = 2 b , determinar a tração em cada cabo, causada pela carga P aplicada em C .

Passo 1

Com a aplicação da carga P haverá, além das forças nos cabos, uma deflexão na barra. A partir da equação de equilíbrio estático, da geometria e das equações de deflexão de cada cabo vamos conseguir achar as trações.

Passo 2

Vamos fazer, primeiramente, o diagrama de corpo livre da barra.

Aplicando a soma das forças em y

∑ F y = 0

F A + F B - P + F D = 0

F A + F B + F D = P

Com as relações de equilíbrio estático vamos aplicar o momento em qualquer ponto, no caso o ponto A

∑ M A = 0

- F B ⋅ a + P ⋅ a + b - F D ⋅ a + b + b = 0

Como a = 2 b

- F B ⋅ 2 b + P ⋅ 3 b - F D ⋅ 4 b = 0

3 b ⋅ P = 2 b ⋅ F B + 4 b ⋅ F D

Simplificando por b

2 F B + 4 F D = 3 P

Obtendo assim duas equações:

F A + F B + F D = P

F B + 3 ⋅ F D = 2 ⋅ P

Passo 3

Agora vamos analisar a geometria, quando há a deflexão.

Os pontos A B C D foram mudados para as posições A ' B ' C ' D ' . Se traçarmos uma paralela (pontilhada) vamos observar que as deflexões serão dadas da seguinte forma:

δ B = δ A + a ⋅ θ

δ C = δ A + ( a + b ) ⋅ θ

δ D = δ A + ( a + b + b ) ⋅ θ

Como a = 2 b

δ B = δ A + 2 b ⋅ θ

δ C = δ A + 3 b ⋅ θ

δ D = δ A + 5 b ⋅ θ

Passo 4

Agora vamos calcular cada deflexão:

δ A = F A ⋅ L A ⋅ E

Como os três cabos são idênticos, o único termo que irá mudar é o termo da força, logo:

δ B = F B ⋅ L A ⋅ E

δ D = F D ⋅ L A ⋅ E

E δ C será obtido a partir da relação do passo 3.

Passo 5

Vamos juntas as equações do passo 4 com as do passo 5, assim vamos ter:

1)

δ B = δ A + 2 b ⋅ θ

F B ⋅ L A ⋅ E = F A ⋅ L A ⋅ E + 2 b ⋅ θ

Isolando as forças

F B = F A + 2 b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L

2)

δ D = δ A + 5 b ⋅ θ

F D ⋅ L A ⋅ E = F A ⋅ L A ⋅ E + 5 b ⋅ θ

Isolando as forças

F D = F A + 5 b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L

Agora substituímos na equação

F B + 3 ⋅ F D = 2 ⋅ P

Obtendo

F A + 2 b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L + 3 ⋅ F A + 5 b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = 2 ⋅ P

F A + 2 b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L + 3 ⋅ F A + 15 b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = 2 ⋅ P

4 F A + 17 b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = 2 P

Isolando o termo b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E /   L

17 b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = 2 P - 4 F A

b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = 2 P - 4 F A 17

Passo 6

Com isso vamos aplicar a outra equação também para descobrir F A

F A + F B + F D = P

F A + F A + 2 b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L + F A + 5 b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = P

3 ⋅ F A + 7 b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E L = P

Como a gente já isolou o termo ( b ⋅ θ ⋅ A ⋅ E ) / L podemos substitui-lo agora

3 ⋅ F A + 7 ⋅ 2 ⋅ P - 4 ⋅ F A 17 = P

3 ⋅ F A + 14 ⋅ P - 28 ⋅ F A 17 = P

Multiplicando os dois lados por 17

51 F A + 14 P - 28 F A = 17 P

51 F A - 28 F A = 17 P - 14 P

23 F A = 3 ⋅ P

F A = 3 P 23

Agora podemos substituir em

F A + F B + F D = P

F B + 3 ⋅ F D = 2 ⋅ P

Obtendo duas novas equações

3 P 23 + F B + F D = P

F B + 3 ⋅ F D = 2 ⋅ P

Subtraindo a primeira pela segunda

3 P 23 + F D - 3 ⋅ F D = P - 2 ⋅ P

- 2 ⋅ F D = - P - 3 P 23

2 ⋅ F D = P + 3 P 23

2 ⋅ F D = 23 P + 3 P 23

2 F D = 26 P 23

F D = 13 P 23

E finalmente vamos ter

F A + F B + F D = P

3 P 23 + F B + 13 P 23 = P

F B = P - 13 P 23 - 3 P 23

F B = 23 P - 13 P - 3 P 23

F B = 7 P 23

Portanto temos as nossas trações

F A = 3 P 23

F B = 7 P 23

F D = 13 P 23

Resposta

F A = 3 P 23

F B = 7 P 23

F D = 13 P 23

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