Enunciado

A montagem mostrada consiste em um tubo de alumínio ( E = 70   G P a ; α = 23,6 × 10 - 6 / ° C ) preenchido com núcleo de aço ( E = 20 0   G P a ; α = 11,7 × 10 - 6 / ° C ) e, com ausência de tensão a uma temperatura de 20°C. Considerando somente deformações axiais, determine a tensão no tubo de alumínio quando a temperatura atingir 180 ° C .

Passo 1

Vamos entender o que acontece quando este tubo é aquecido. A parte de fora (alumínio) dilata mais do que a de dentro (aço), mas como tudo faz parte de uma coisa só a deflexão final terá de ser igual. Então vai ser daí que vai sair o nosso raciocínio, porque ambos estão sujeitos a dilatações térmicas, porém o alumínio vai tracionar o aço enquanto o aço impede a dilatação do alumínio. Em forma de equação vamos ter o seguinte:

δ t u b o = δ T A l - δ A l = δ T a ç o + δ a ç o

Então vamos calcular as deflexões geradas pelas tensões ( δ A l   e   δ a ç o ) e pela temperatura ( δ T A l   e   δ T a ç o ) de cada componente e coloca-los nessa equação!

Passo 2

Vamos calcular primeiro as dilatações térmicas. Para o alumínio:

δ T A l = α A l ⋅ L 0 ⋅ Δ T

δ T A l = 23,6 × 10 - 6 ⋅ 200 ⋅ ( 180 - 20 )

δ T A l = 23,6 × 10 - 6 ⋅ 200 ⋅ 160

δ T A l = 755200,0 × 10 - 6 m m

δ T A l = 0,7552   m m

Para o aço:

δ T a ç o = α a ç o ⋅ L 0 ⋅ Δ T

δ T a ç o = 11,7 × 10 - 6 ⋅ 200 ⋅ ( 180 - 20 )

δ T a ç o = 11,7 × 10 - 6 ⋅ 200 ⋅ 160

δ T a ç o = 374400 × 10 - 6 m m

δ T a ç o = 0,3744   m m

Passo 3

Agora vamos calcular as deflexões devido às tensões, primeiro para o alumínio:

δ A l = F ⋅ L A ⋅ E

Calculando a área do alumínio:

A = π ⋅ ( D e x t 2 - D i n t 2 ) 4

A = π ⋅ ( 50 e x t 2 - 20 i n t 2 ) 4

A = π ⋅ ( 2500 - 400 ) 4

A = π ⋅ 2100 4

A = 1649,64   m m ²

Continuando na equação da deflexão

δ A l = F ⋅ L A ⋅ E

δ A l = F ⋅ 200 1649,64 ⋅ 70

δ A l = 1,73 × 10 - 3 ⋅ F

Ainda não temos a força de interação entre as duas partes, de aço e de alumínio.

Calculando a deflexão para o aço:

δ a ç o = F ⋅ L A ⋅ E

A área para o aço será de:

A = π ⋅ D ² 4

A = π ⋅ 20 ² 4

A = π ⋅ 400 4

A = 314,16   m m ²

Continuando na equação da deflexão

δ a ç o = F ⋅ L A ⋅ E

δ a ç o = F ⋅ 200 314,16 ⋅ 200

δ a ç o = 3,18 × 10 - 3 ⋅ F

Como dito anteriormente, não temos a força F ainda que, por ser a força de interação, é igual para ambos os casos.

Passo 4

Agora vamos substituir na nossa equação do início do problema:

δ T A l - δ A l = δ T a ç o + δ a ç o

0,7552   - 1,73 × 10 - 3 ⋅ F = 0,3744 + 3,18 × 10 - 3 ⋅ F

Reorganizando

0,7552   - 0,3744 = 3,18 × 10 - 3 ⋅ F + 1,73 × 10 - 3 ⋅ F

0 , 3808 = ( 3,18 + 1,73 ) × 10 - 3 ⋅ F

0,3808 = 4,91 × 10 - 3 ⋅ F

F = 0,3808 4,91 ⋅ 10 - 3

F = 0,3808 4,91 × 10 3

F = 0,076 × 10 3 N

F = 76   k N

Passo 5

Para descobrirmos a tensão no alumínio basta dividir a força pela área:

σ = F A

σ = 7600 0 1649,64

σ = 4 6   M P a

Neste caso a tensão será de compressão, já que o alumínio atrapalha a dilatação do aço. Como é uma tensão compressiva podemos escrever:

σ = - 46   M P a

Resposta

σ = - 46   M P a

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