Enunciado

A barra é suportada pelo pino. Se a tensão de tração admissível para a barra for σ t a d m   =   150   M P a e a tensão de cisalhamento admissível para o pino for τ a d m   =   85   M P a , determine o diâmetro do pino para o qual a carga P será máxima. Qual é essa carga máxima? Considere que o orifício na barra tem o mesmo diâmetro d do pino. Considere também t   =   6   m m   e   w   =   50   m m .

Passo 1

Oláaaaa, querido! Tá bem?

Então, a gente quer encontrar o diâmetro do pino que implica na carga P sendo máxima e, para isso, devemos relacionar esses valores que desejamos encontrar com as equações que regem as tensões admissíveis, já que elas foram dadas no problema, sacou?

A expressão da tensão normal máxima que pode atuar na barra é

σ t - a d m = P A 1  

Essa força P é a força normal mostrada na figura e A 1 é a área da menor seção transversal da barra (já que queremos σ máximo). Percebe que a barra tem um buraco por causa do parafuso.

Então a menor seção transversal é a seção que passa pelo meio do parafuso, ou seja, onde o buraco da barra tem a altura do diâmetro do parafuso. Por isso A 1 vale

A 1 = w - d ⋅ t  

E a tensão de cisalhamento é

  τ a d m = F A 2

Onde F é a força resultante de cisalhamento num parafuso e A 2 a área da seção circular dele:

  A 2 = π 4 ⋅ d 2

Passo 2

Dadas as equações acima podemos montar um sisteminha que relacione P e d . Vamos começar pela tensão normal:

σ t - a d m = P A 1

σ t - a d m = P w - d ⋅ t  

Substituindo os valores do enunciado:

σ t - a d m = P 50 m m - d ⋅ 6 m m   ( i )

Passo 3

No caso do cisalhamento, nós vamos ter cisalhamento duplo porque a força P é transmitida para o parafuso pela barra. E o parafuso transmite essa força a base por duas placas (uma de cada lado). A presença dessas duas placas é o que indica para gente o cisalhamento duplo.

Logo a nossa força F vai ser P dividida por 2 na equação da tensão de cisalhamento, assim

τ a d m = F A 2

τ a d m = 0,5 ⋅ P π 4 ⋅ d 2

τ a d m = 2 π ⋅ P d 2       ( i i )

Passo 4

Temos essas duas equações:

σ t - a d m = P 50 m m - d ⋅ 6 m m   ( i )

τ a d m = 2 π ⋅ P d 2       ( i i )

Temos o valor de todas as letrinhas, menos P e d que queremos descobrir.

Então, substituindo os dados e resolvendo o sistema de equações composto pelas equações i e ( i i ) vamos encontrar

P = 31,23 k N   e   d = 15,29 m m

Resposta

P = 31,23 k N   e   d = 15,29 m m

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