Enunciado

Pede-se: (a) Para a viga com o carregamento mostrado e usando funções singulares,escrever as equações que definem as curvas do diagrama de força cortante e de momento fletor; (b) determinar o máximo momento fletor da viga.

Passo 1

Agora a gente vai resolver os problemas com a utilização de funções singulares, mas o que é isso? Olha a função abaixo:

V x = x 2 + x - a 2

Esse é uma função normal, correto? Mas imagina que eu quero fazer o seguinte: Ignorar o segundo termo quando x < a . Nós podemos fazer escrevendo:

V x = x 2 + { x - a } 2

Dessa forma vamos admitir duas hipóteses:

Quando x < a a função fica:

V x = x 2

Quando x ≥ a a função fica:

V x = x 2 + x - a 2

Legal né? É essa propriedade que vamos utilizar neste problema.

Passo 2

Vamos calcular as reações nos pontos A e B . Para isso vamos fazer o somatório das forças em y igual a zero (é um problema de estática, lembre-se):

∑ F y = 0

Lembrando que temos cargas distribuídas, assim temos de multiplicar a sua intensidade pela distância.

∑ F y = R A - w 0 ⋅ a - 2 w 0 ⋅ 2 a - w 0 ⋅ a + R B = 0

R A + R B = 6 w 0 ⋅ a

Como existe uma simetria no problema então a gente pode perceber que R A = R B , desta forma:

2 R A = 6 w 0 a

R A = R B = 3 w 0 ⋅ a

Passo 3

Agora o importante é achar a função singular que define o carregamento, nesse caso será:

w x = w 0 + w 0 x - a 0 - w 0 x - 3 a 0

Passo 4

Agora a gente vai integrar essa função em x de modo a achar o vetor cortante V :

V x = - ∫ w x ⋅ d x

V x = - ∫ w 0 + w 0 x - a 0 - w 0 x - 3 a 0 ⋅ d x

V x = - w 0 ⋅ x - w 0 x - a 1 + w 0 x - 3 a 1 + C

Aqui é importante notar que a constante C é igual à força de reação. Logo:

C = 3 w 0 ⋅ a

V x = - w 0 ⋅ x - w 0 x - a 1 + w 0 x - 3 a 1 + 3 w 0 ⋅ a

Passo 5

Para achar o momento basta que a gente integre novamente =D

M x = ∫ V x ⋅ d x

M x = ∫ - w 0 ⋅ x - w 0 x - a 1 + w 0 x - 3 a 1 + 3 w 0 ⋅ a ⋅ d x

M x = ∫ - w 0 ⋅ x - w 0 x - a 1 + w 0 x - 3 a 1 + 3 w 0 ⋅ a ⋅ d x

M x = - w 0 ⋅ x 2 2 - w 0 ⋅ x - a 2 2 + w 0 ⋅ x - 3 a 2 2 + 3 w 0 ⋅ a ⋅ x

Passo 6

Para achar o ponto onde o momento é máximo a gente precisa zera a força cortante. Dessa forma:

V x = 0

V x = - w 0 ⋅ x - w 0 x - a 1 + w 0 x - 3 a 1 + 3 w 0 ⋅ a = 0

Isso ocorre quando x = 2 a .

Desta forma:

M x = 2 a = - w 0 ⋅ 4 a 2 2 - w 0 ⋅ 2 a - a 2 2 + 0 + 3 w 0 ⋅ a ⋅ 2 a

M m á x = - 2 w 0 ⋅ a 2 - w 0 ⋅ a 2 2 + 6 w 0 ⋅ a 2

M m á x = 7 2 ⋅ w 0 a 2

Resposta

a)

V x = - w 0 ⋅ x - w 0 x - a 1 + w 0 x - 3 a 1 + 3 w 0 ⋅ a

M x = - w 0 ⋅ x 2 2 - w 0 ⋅ x - a 2 2 + w 0 ⋅ x - 3 a 2 2 + 3 w 0 ⋅ a ⋅ x

b)

M m á x = 7 2 ⋅ w 0 a 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A viga composta de madeira está interligada por um parafuso em B . Considerando que os acoplamentos em A ,B ,CeD exerçam somente forças verticais na viga, determine o diâmetro exigido para o parafuso
A barra é mantida em equilíbrio por pinos em AeB . Observe que o apoio em A tem uma única orelha, o que envolve cisalhamento simples no pino, e o apoioB tem orelha dupla, o que envolve cisalhamento du
A barra é suportada pelo pino. Se a tensão de tração admissível para a barra for σ t a d m=150M P a e a tensão de cisalhamento admissível para o pino for τ a d m=85M P a , determine o diâmetro do pino
A barra está acoplada ao suporte por um pino de diâmetro d=25m m . Se a tensão de tração admissível para a barra for σ t a d m=140M P a e a tensão de apoio admissível entre o pino e a barra for ( σ a
A barra é mantida em equilíbrio por pinos em AeB . Observe que o apoio em A tem uma única orelha, o que envolve cisalhamento simples no pino, e o apoioB tem orelha dupla, o que envolve cisalhamento du