Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no ponto médio da viga. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Bora lá galera, esse só tem força e momento localizado, nada de carregamentos complicados, vem comigo! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar encontrando a força nos apoios, nesse caso, como temos um carregamento simétrico aplicado na viga, a reação nos apoios será igual a metade da carga aplicada, ou seja:

A y = E y = 150 + 150 2 → A y = E y = 150   k N

Para encontrar o momento nos pontos B e C, vamos desenhar DCL para essas duas partes. Então, para uma seção de comprimento x entre os pontos A e B, teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M + 60 - 150 x = 0 → M = 150 x - 60

Com 0 < x < 2   m .

Passo 3

Agora vamos estender essa seção para um comprimento x entre B e C, onde teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - 150 x + 60 + 150 x - 2 = 0 → M = - 60 + 300

Agora nós vamos separar os momentos em três partes. A primeira é a parte constante igual a -60 que aparece nas duas seções, essa será uma das áreas do diagrama M/EI. A segunda parte é referente ao momento causado pela reação de apoio, correspondente a 150x na primeira parte e que é anulada pela outra força de 150 kN no trecho BC. E por último temos outra parte constante, só que agora igual a 300 que aparece no trecho BC. Então, teremos:

M 1 = - 60   0 < x < 2,5   m

M 2 = 150 x   ( 0 < x < 2   m )

M 3 = 300   ( 2   m < x < 2,5   m )

Passo 4

Agora vamos calcular os momentos nos pontos A, B e C, onde teremos:

M 1 A = M 1 C = - 60   k N . m

M 2 A = 0

M 2 B = 150 2 → M 2 B = 300   k N . m

M 3 B = M 3 C = 300   k N

Então nosso diagrama M/EI será:

Passo 5

Agora, antes de calcular as áreas sob o diagrama, precisamos calcular o termo EI que fica no denominador, consultando o apêndice C, teremos o seguinte momento de inércia para o nosso perfil de viga:

I = 333.10 6   m m 4 = 333.10 - 6   m 4

Então o termo EI será:

E I = 200.10 9 333.10 - 6 → E I = 66,6.10 6   N . m 2 = 66600   k N . m 2

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:

A 1 = b h = 2,5 - 60 66600 → A 1 = - 2,252.10 - 3

x - 1 = b 2 = 2,5 2 → x - 1 = 1,25   m

A 2 = b h 2 = 2 300 66600 2 → A 2 = 4,504.10 - 3

x - 2 = b 3 = 2 3 → x - 2 = 0,666   m

A 3 = b h = 0,5 300 66600 → A 3 = 2,252.10 - 3

x - 3 = b 2 = 0,5 2 → x - 3 = 0,25   m

Passo 6

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ A / C = θ A - θ C = A 1 + A 2 + A 3

Substituindo os valores encontrados para a área e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétrico e localizado no centro da viga, teremos:

θ A - 0 = - 2,252.10 - 3 + 4,504.10 - 3 + 2,252.10 - 3

θ A = 4,504.10 - 3   r a d

Beleza, vamos pra (b) agora!

Passo 7

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t C / A = A C A x -

Em que A C A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t C - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3

Sabendo que não temos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:

t C - 0 = - 2,252.10 - 3 1,25 + 4,504.10 - 3 0,5 + 0,666 + 2,252.10 - 3 0,25

t C =   3.10 - 3   m

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a : θ A = 4,504.10 - 3   r a d

b : t C =   3.10 - 3   m

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