Enunciado

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A barragem de concreto por ‘gravidade’ é mantida por seu próprio peso. Se a densidade do concreto é ρ c = 2,5   M g / m ³ , e a água tem uma densidade de ρ w = 1,0   M g / m ³ , determine a menor distância d em sua baseque impedirá que a barragem tombe em torno de sua extremidade A . A barragem tem uma largura de 8   m .

Passo 1

Olá, querido! Queremos o valor de d para a barragem ficar paradinha. Então o que a gente vai fazer é achar as forças atuando na barragem e usar as equações de equilíbrio.

Um cara chamado Pascal enunciou uma vez que, um fluido em repouso cria uma pressão p em um ponto que é a mesma em todas as direções.

A intensidade de p , medida como uma força por área unitária, depende do peso específico γ ou densidade de massa ρ do fluido e da profundidade z do ponto a partir da superfície do fluido. Podemos escrever a expressão da pressão como:

p = γ z = ρ g z

A barragem tem 8 metros de largura, beleza? Tendo isso em mente, vamos descobrir a intensidade de carga que a água causa na barragem:

w = p b

w = ρ g z b

w = 1000 9,81 9 8 = 706,32 × 10 3   N / m

Passo 2

A carga que a água faz sobre a barragem é uma carga distribuída que tem formato de triângulo. Onde o ponto mais alto do triângulo ocorre em z = 9   m e vale w . Para posicionar esse triângulo, a gente coloca a base dele paralela a parede da barragem e a ponta dele coincidindo com a superfície da água.

A força resultante é dada pela área desse triângulo. A altura dele é w . A altura a gente precisa achar. Podemos usar pitagoras

h 2 = 9 2 + d - 1,5 2 2

h = 81 + d - 1,5 2 2

A força resultante fica:

F R = 1 2 w h

F R = 1 2 706,32 × 10 3 81 + d - 1,5 2 2

Essa força atua através do centroide da área. Que é h / 3 . Pela geometria do triângulo, ele está em:

z 3 = 9 3 = 3

Em relação a vertical. Vemos no desenho a seguir que acontece alho análogo na horizontal

Passo 3

Nos falta ainda saber o valor do peso da barragem, W . Logo, o valor de W será escrito da seguinte forma:

W = b ρ c g A

Onde b é a largura da barragem, ρ c é densidade dela, g é a gravidade e A é a área da seção transversal que na figura vemos que é um trapézio e dada por

A = 1 2 9 d + 1,5

Substituindo os valores na expressão, temos:

W = 8 2,5 × 10 3 9,81 9 1 2 d + 1,5

W = 882,9 d + 1324,35 × 10 3   N

Passo 4

Nosso DCl da barragem fica:

Aqueles R ' s são as reações do solo para segurar a barragem. Mas lembra que a gente quer o d mínimo. Isso ocorre na eminência de rotação. Como a água tende a girar a barragem no sentido horário, temos que nesse momento R 1 = 0 .

Aí para achar d , a gente pode fazer o momento nesse ponto de aplicação de R 2 . Aí a gente não precisa se preocupar em acha-lo.

Mas para fazer o momento, vamos decompor F R na vertical e na horizontal. Vamos voltar a usar aquele triângulo amaralelo

F R x = F R   s e n   θ = F R   9 h = F R 9 81 + d - 1,5 2 2

F R x = 1 2 706,32 × 10 3 81 + d - 1,5 2 2 9 81 + d - 1,5 2 2

F R x = 1 2 706,32 × 10 3 9

F R y = F R cos ⁡ θ = F R   d - 1,5 2 h = F R d - 1,5 2 81 + d - 1,5 2 2

F R y = 1 2 706,32 × 10 3 81 + d - 1,5 2 2 d - 1,5 2 81 + d - 1,5 2 2

F R y = 1 2 706,32 × 10 3 d - 1,5 2

Passo 5

Olhando nosso DCL, vemos que

x 1 = d - 1 3 d - 1,5 2 = 5 6 d + 0,25

Agora que temos todas as informações de forças atuando na barragem, vamos calcular o momento no ponto de aplicação de R 2 . O somatório dos momentos para sistemas em equilíbrio é igual a zero. Assim, adotando como sentido positivo anti-horário, temos:

∑ M 2 = 0

1 2 706,32 × 10 3 d - 1,5 2 5 6 d + 0,25 + 882,9 d + 1324,35 × 10 3 d 2 - 1 2 706,32 × 10 3 9   3 = 0

Fazendo a distributiva, a gente cai numa equação do segundo grau. Resolvendo essa equação e escolhendo a solução positiva (já que d é uma distância, e distância são positivas), achamos:

d = 3,65   m

Resposta

A menor dimensão d que impedirá que a barragem tombe é:

d = 3,65   m

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