Enunciado

O bloco E de 1,8   k g é abandonado de uma altura h = 38   m m e choca-se na barra quadrada B D , de 25   m m de lado, que está presa às barras de aço A B e C D , de 9,5   m m de diâmetro. Sabendo-se que E = 200   G P a , determinar a máxima deflexão no ponto médio da barra.

Passo 1

Fala, galerinha! Partiu fazer uma questão de carregamentos produzidos por impacto?

Essa questão quer que a gente determine a deformação máxima y m que ocorre no centro da barra B D . A deformação máxima y m é a deformação causada pelo impacto do bloco E , quando ele transfere toda a sua energia potencial U m para a barra. Ou seja, a barra B D absorve toda a energia potencial, se deformando por isso. A figura abaixo mostra esse caso!

F s são as forças que os suportes A B e C D exercem sobre a barra B D . P m é a força que o bloco que cai exerce sobre a barra B D . y s é a deformação dos suportes A B e C D causada pelo choque que a barra B D sofre. d s é o diâmetro e L s e o comprimento dos suportes A B e C D .

Para achar a deflexão de B D y m , temos que calcular a energia potencial U m que B D absorve.

U m = m g h + y s + y m

onde m é a massa do bloco. Vemos pela equação acima que, além de y m , temos outros dois termos que não conhecemos: y s e U m . Ou seja, para calcular y m , precisamos saber quanto valem a deformação dos suportes y s e a energia que total U m absorvida pelos suportes e pela barra B D em função de y m . Desse jeito, a equação acima terá apenas y m como incógnita e poderemos achar esse valor. Vamos começar achando y s em função de y m no passo seguinte!

Passo 2

A primeira etapa para achar a deformação y s dos suportes A B e C D , que são carregados com uma força F s , é usar a Lei de Hooke abaixo.

y s = F s L s E A s

onde A s é a área da seção transversal de um dos suportes.

No entanto, ainda não conhecemos a força F s que estica os suportes. Para encontrar essa força, temos que fazer o equilíbrio de forças da barra B D . Esse equilíbrio de forças diz que a soma das forças aplicadas em B D tem que ser zero.

F s + F s - P m = 0       ⟹       F s = P m 2

O sinal de P m é negativo, porque essa força aponta pra baixo!

Nós queremos achar y s em função de y m , no entanto, esbarramos de novo em uma variável que não conhecemos: P m . Para achar P m em função de y m recorremos à equação presente no apêndice D para o tipo de carregamento encontrado na barra B D .

y m = P m L 3 48 E I         ⟹       P m = 48 E I y m L 3

Substituindo essa equação de P m na equação de F s :

F s = P m 2       ⟹       F s = 48 E I y m L 3 2       ⟹       F s = 24 E I y m L 3

Substituindo F s na equação de y s , achamos:

y s = F s L s E A s       ⟹       y s = 24 E I y m L 3 L s E A s       ⟹       y s = 24 I L s y m L 3 A s

Agora só falta achar U m em função de y m !

Passo 3

Para calcular a energia total U m que os dois suportes e a barra B D absorvem, precisamos somar a energia U A B do suporte A B com a energia U C D do suporte C D mais a energia U B D da barra B D . A energia dos suportes podem ser calculadas pela equação 10.14 do livro. Já a energia da barra B D é calculada resolvendo uma integral do momento fletor M da barra B D .

U m = U A B + U C D + U B D

U m = F s 2 L s 2 A s E + F s 2 L s 2 A s E + ∫ 0 L M 2 2 E I d x

Conhecemos a equação de F s em função de y m . Resta saber, como podemos transformar a integral em uma equação de y m . Fazemos isso, calculando o momento fletor M e integrando!

Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra B D . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem dois valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui a força P m e outro quando a parte esquerda inclui a força P m . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

Como a força F s faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de F s .

- M F s + M = 0       ⟹       - F s x + M = 0       ⟹       M = F s x       ⟹       M = P m x 2

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

De novo precisamos observar que, como a força F s faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de F s .

M P - M F s + M = 0       ⟹       P m x - L 2 - F s x + M = 0       ⟹       P m x - L 2 - P m x 2 + M = 0

M = - P m 2 x - L

M tem dois valores. Um quando x vale entre 0 e L 2 e outro, quando x vale entre L 2 e L .

S e   0 ≤ x < L 2       ⟹     M = P m x 2

S e   L 2 < x ≤ L       ⟹       M = - P m 2 x - L

Por isso, para substituir M na integral que calcula U B D , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de 0 a L 2 para o primeiro valor de M e outra que vai de L 2 a L para o segundo valor de M .

U B D = ∫ 0 L M 2 2 E I d x ⟹ U B D = ∫ 0 L 2 M 2 2 E I d x + ∫ L 2 L M 2 2 E I d x

U B D = ∫ 0 L 2 P m x 2 2 2 E I d x + ∫ L 2 L - P m 2 x - L 2 2 E I d x

Resolvendo a integral, achamos que U B D vale:

U B D = P m 2 L 3 96 E I

Substituindo isso na equação de U m , achamos:

U m = F s 2 L s 2 A s E + F s 2 L s 2 A s E + ∫ 0 L M 2 2 E I d x       ⟹       U m = 24 E I y m L 3 2 L s 2 A s E + 24 E I y m L 3 2 L s 2 A s E + P m 2 L 3 96 E I

U m = 288 E I 2 L s L 6 A s y m 2 + 288 E I 2 L s L 6 A s y m 2 + 24 E I L 3 A s L 6 A s y m 2

U m = 24 E I L 6 A s 24 I L s + L 3 A s y m 2

Aeee! Agora vamos para o passo final!

Passo 4

Finalmente podemos substituir U m e y s na equação do passo 1 e achar o valor de y m .

U m = m g h + y s + y m

24 E I L 6 A s 24 I L s + L 3 A s   y m 2 = m g h + 24 I L s L 3 A s y m + y m

24 E I L 6 A s 24 I L s + L 3 A s   y m 2 - m g 24 I L s L 3 A s + 1 y m - m g h = 0

A equação acima, mostra que para achar y m , precisamos achar a raiz positiva do polinômio do segundo grau através da fórmula de Bhaskara. No entanto, para achar a raiz, precisamos achar os valores numéricos dos coeficientes do polinômio. Para isso, precisamos descobrir quanto vale o momento de inércia I do perfil através de I para perfis quadrangulares abaixo.

I = b f d 3 12       ⟹       I = 25 × 25 3 12       ⟹       I = 32552,08   m m 4       ⟹       I = 32552,08 × 10 - 12   m 4

Além disso, A s vale:

A s = π d s 2 4       ⟹       A s = π × 9,5 2 4       ⟹       A s = 70,8822   m m 2       ⟹       A s = 70,8822 × 10 - 6   m 2

Antes de substituir os dados na equação, precisamos converter E de G P a pra P a multiplicando E por 10 9 e converter h , L e L s de m m pra m multiplicando h , L e L s por 10 - 3 .

24 E I L 6 A s 24 I L s + L 3 A s   y m 2 - m g 24 I L s L 3 A s + 1 y m - m g h = 0

746818,55   y m 2 - 18,1986   y m - 0,671004 = 0

Pelo polinômio acima nós vemos que os coeficientes dele são:

a = 746818,55 b = - 18,1986 c = - 0,671004

Sabendo disso, somos capazes de calcular y m por Bhaskara.

y m = - b + b 2 - 4 a c 2 a

y m = - - 18,1986 + - 18,1986 2 - 4 × 746818,55 × - 0,671004 2 × 746818,55

y m = 0,00096   m

Fooooooi! Depois de muuuito suor acabamos a questão! Parabéns!

Resposta

y m = 0,00096   m

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Três hastes, cada uma com a mesma rigidez E I , são soldadas para formar o pórtico. Para o carregamento mostrado, determine a deflexão no ponto D .