Enunciado

Um bloco homogêneo repousa no topo da superfície cilíndrica. Derive a relação entre o raio do cilindro, r, e a dimensão do bloco b, para o equilíbrio estável. Dica: estabeleça a função energia potencial para um ângulo pequeno θ , ou seja, θ ≈ 0 ,   c o s θ ≈ 1 - θ 2 / 2  

Passo 1

Do diagrama corpo livre (DLC):

Passo 2

Da geometria da figura temos:

y = r + b 2 c o s θ + r θ s e n θ

Passo 3

Vamos calcular a energia potencial do sistema:

V = W [ r + b 2 c o s θ + r θ s e n θ

Em que W é o peso do bloco. Seguindo a dica do enunciado para ângulos pequenos: s e n θ ≈ 0   e   c o s θ = 1 - c o s θ 2 / 2

V = W [ r + b 2 1 - θ 2 2 + r θ ² V = W ( r θ 2 2 - b θ 2 4 + r + b 2 )

Passo 4

Com a expressão da energia potencial, podemos calcular a primeira derivada para encontrar a posição do equilíbrio:

d V d θ = W r 2 2 θ - b 4 2 θ d V d θ = W r θ - b θ 2 d V d θ =   W r θ - b θ 2 = 0   θ = 0 ,   W ≠ 0

Portanto o ângulo 0 º proporciona o equilíbrio.

Passo 5

Para analisar o equilíbrio, precisamos tomar a segunda derivada:

d 2 V d θ 2 = W r - b 2 > 0   p a r a   s e r   e s t á v e l r - b 2 > 0 b < 2 r

Portanto a relação entre b e r que confere equilíbrio estável para o sistema em 0º é b < 2 r

Resposta

b < 2 r

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Saendo que a engrenagem da barra AB pesa 36N e a da barra CD pesa 18N, determine as posições de equilíbrio do sistema e determine em cada caso a estabilidade do equilíbrio:
Resolva o problema 10.99 se k = 3,6 k N / m , r = 75 m m ,l = 150 m m , e (a) W = 68 N eb W = 272 N .
Sabendo que as molas estão indeformadas quando y = 0 , determine o valor de y para equilíbrio quando W = 80 N ,l = 500 m m e k = 600 N / m m .
Sabendo que as engrenagens têm a mesma massa m , determine as posições de equilíbrio do sistema e determine em cada caso a estabilidade do equilíbrio:
Sabendo que as barras possuem o mesmo comprimento l e o peso da engrenagem em AB é de 13,5N e o da engrenagem da barra CD é 9N, determine as posições de equilíbrio do sistema e determine em cada caso