Enunciado

O tabuleiro da ponte tem um peso por unidade de comprimento de 80   k N / m . Ele está apoiado em cada lado por um cabo. Determine a tração em cada cabo nos pilares A e B .

Passo 1

O problema quer que a gente encontre as trações de cada cabo nos pilares A e B .

Vamos começar observando um pouco o problema, assim a gente pode fazer um diagrama de corpo livre, assim:

E como a ponte é suportada por dois cabos, a gente acha que:

w x = 80 2 = 40 k N m = 40 ⋅ 10 3   N

Passo 2

Nós notamos que ( 0,0 ) na figura do problema, é o ponto mais baixo do cabo, vamos pegar a segunda derivada da equação do cabo, logo:

d 2 y d 2 x = w x F H = 40 ⋅ 10 3 F H

E integrando isso:

d y d x = 40 ⋅ 10 3 F H x + C 1

Vamos encontrar C 1 , pra isso a gente usa a condição inicial, de que na origem, d y d x = 0 e x = 0 então:

d y d x = 0 = 40 ⋅ 10 3 F H 0 + C 1

Logo C 1 é igual a 0 .

Ficamos com:

d y d x = 40 ⋅ 10 3 F H x

Integramos mais uma vez para chegamos na função não derivada:

y = 40 ⋅ 10 3 2 ⋅ F H x 2 + C 2

Aplicamos a condição inicial também para descobrirmos C 2 :

0 = 40 ⋅ 10 3 2 ⋅ F H 0 2 + C 2

Encontramos que C 2 também é nulo. Então, ficamos com a função do cabo como sendo:

y = 20 ⋅ 10 3 F H x 2

Passo 3

Agora, descobrir F H pra isso, vamos usar a equação que encontramos nos pontos que já sabemos:

y = 75 e x = x 0 :

Na equação:

75 = 20 ⋅ 10 3 F H x 0 2

Agora no ponto y = 150 e x = - ( 1000 - x 0 ) , que fica na equação:

150 = 20 ⋅ 10 3 F H - 1000 - x 0 2

Usando essas duas equações como um sistema, encontramos:

x 0 = 414,21   m

F H = 45,75 ⋅ 10 6   N

Então, substituímos F H na equação derivada:

d y d x = 40 ⋅ 10 3 45,75 ⋅ 10 6 x = 0,8743 ⋅ 10 - 3 x

Passo 4

Tá quase acabando, mas antes da gente encontrar as forças de tração, temos que encontrar os ângulos formados em cada tração, para isso é bom lembrarmos que a derivada é a tangente do ângulo formado em relação ao eixo, assim:

θ B = tan - 1 ⁡ d y d x = tan - 1 ⁡ ( 0,8743 ⋅ 10 - 3 ( 414,21 ) ) = 19,91 °

θ A = tan - 1 ⁡ d y d x = tan - 1 ⁡ [ 0,8743 ⋅ 10 - 3 ( - ( 1000 - 414,21 ) ) ] = 27,12 °

Finalmente, as trações:

T B = F H cos ⁡ θ B = 45,75 ⋅ 10 6 cos ⁡ 19,91 ° = 48,66 ⋅ 10 6   N = 48,66   M N

T A = F H cos ⁡ θ A = 45,75 ⋅ 10 6 cos ⁡ ( 27,12 ° ) = 51,4 ⋅ 10 6   N = 51,4   M N

Resposta

T A = 51,4   M N

T B = 48,66   M N

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