Enunciado

Um bloco de peso W é abandonado de uma altura h acima de uma viga horizontal A B e choca-se com elas no ponto D . Pede-se:

  1. Denotando por y m o valor exato da máxima deflexão em D , e por y m ' o valor obtido desprezando-se o efeito dessa deflexão na variação da energia potencial do bloco, mostrar que valor absoluto do erro relativo y m ' - y m / y m nunca excede a y m ' / 2 h ;
  2. verificar o resultado obtido na parte a, resolvendo a parte a do Prob. 10.72, sem levar em conta y m , na determinação da variação de energia potencial da carga. Comparar a resposta obtida por este caminho com a exata resposta daquele problema.

Passo 1

E aí, galerinha! Estudando muito? Bora fazer um exercício de carga produzida por choque?

Na letra (a), o enunciado quer que a gente calcule o erro relativo Δ y que ocorre, quando consideramos que a energia potencial U m ' que a barra absorve não leva em conta a deflexão y m ' que a barra sofre. Nesse caso (caso 1), a energia potencial que a barra absorve do bloco U m ' vale:

U m ' = W h

Devemos comparar a deformação y m ' que a barra sofre, quando absorve essa energia potencial U m ' com a deformação y m que a barra sofre, quando ela absorve uma energia potencial U m . Nesse caso 2, o cálculo de U m leva em conta a deflexão y m que a barra sofre.

U m = W h + y m

Depois de achar y m ' e y m devemos calcular o erro relativo Δ y pela equação abaixo e mostrar que ele é sempre menor ou igual a y m ' / 2 h .

Δ y = y m ' - y m y m ≤ y m ' 2 h

onde as barrinhas ao redor de y m ' - y m são o módulo (valor absoluto sem sinal) desse termo.

A figura abaixo mostra esses dois casos.

Já na letra (b), o enunciado quer que a gente calcule o erro relativo Δ y do Prob. 10.72, lembrando que, para esse problema y m = 0,0216   m (calculado no Prob 10.72).

O y m ' do Prob 10.72 é encontrado a partir da equação presente no apêndice D do livro.

A figura abaixo mostra os dados da questão 10.72.

No próximo passo vamos começar as contas determinando o valor de y m ' da letra (a).

Passo 2

Para encontrar y m ' , temos que lembrar que podemos calcular a energia U m ' através da força P m ' que o bloco exerce sobre a viga, quando se choca com ela.

U m ' = P m ' y m ' 2

Substituindo essa equação na outra equação de U m ' , obtemos.

U m ' = W h       ⟹       P m ' y m ' 2 = W h

A equação resultante mostra que só falta achar uma equação de P m ' em função de y m ' para achar y m ' .

Achamos essa equação no apêndice D do livro.

y m ' = P m ' a 2 b 2 3 E I L       ⟹     P m ' = 3 E I L y m ' a 2 b 2

onde E é o módulo de elasticidade do material da vida e I é o momento de inércia do perfil da viga.

Agora, vamos substituir P m ' na equação de y m ' que deduzimos.

P m ' y m ' 2 = W h       ⟹       3 E I L y m ' a 2 b 2 y m ' 2 = W h       ⟹       y m ' 2 = 2 W h a 2 b 2 3 E I L       ⟹       y m ' = 2 W h a 2 b 2 3 E I L

Agora só falta achar y m para calcular o erro relativo Δ y .

Passo 3

Calculamos y m através do mesmo passo a passo que usamos para y m ' .

Primeiro, lembramos que podemos calcular a energia U m através da força P m que o bloco exerce sobre a viga, quando se choca com ela.

U m = P m y m 2

Substituindo essa equação na outra equação de U m , obtemos.

U m = W h + y m       ⟹       P m y m 2 = W h + y m

A equação resultante mostra que só falta achar uma equação de P m em função de y m para achar y m .

Mais uma vez temos que recorrer ao apêndice D do livro para achar uma equação.

y m = P m a 2 b 2 3 E I L       ⟹     P m = 3 E I L y m a 2 b 2

No entanto, podemos achar o valor de 3 E I L a 2 b 2 reorganizando a equação de y m ' 2 .

y m ' 2 = 2 W h a 2 b 2 3 E I L       ⟹       3 E I L a 2 b 2 = 2 W h y m ' 2

Logo, P m vale:

P m = 3 E I L y m a 2 b 2       ⟹       2 W h y m y m ' 2

Agora, vamos substituir P m na equação de y m que deduzimos.

P m y m 2 = W h + y m       ⟹       2 W h y m y m ' 2 y m 2 = W h + y m       ⟹     W h y m ' 2 y m 2 - W y m - W h = 0

Dividindo todos os termos por W e multiplicando todos os termos por - y m ' 2 , achamos:

- h y m 2 + y m ' 2 y m + h y m ' 2 = 0

Colocando h em evidência e jogando y m ' 2 y m pro outro lado da equação:

h y m ' 2 - y m 2 = - y m ' 2 y m

Podemos lembrar dos produtos notáveis, para reduzir y m ' 2 - y m 2 .

h y m ' - y m y m ' + y m = - y m ' 2 y m       ⟹   - y m ' - y m y m = y m ' 2 h y m ' + y m

O módulo do lado esquerdo da equação deve excluir o sinal de menos que tem na frente de y m ' - y m y m .

y m ' - y m y m = y m ' 2 h y m ' + y m

Como y m ' - y m y m é igual a Δ y :

Δ y = y m ' 2 h y m ' + y m

y m é maior ou igual a y m ' , porque a deflexão y m é gerada quando a viga absorve mais energia potencial. Isso gera um deslocamento maior da viga. Logo:

Δ y = y m ' 2 h y m ' + y m ≤ y m ' 2 h y m ' + y m ' = y m ' 2 h 2 y m ' = y m ' 2 h

Ou seja:

Δ y = y m ' 2 h y m ' + y m ≤ y m ' 2 h       ⟹       Δ y = y m ' - y m y m ≤ y m ' 2 h

Aeeeeee! Mostramos o que a letra (a) da questão queria!

Passo 4

Agora temos que resolver a letra (b) da questão, calculando o Δ y do Prob. 10.72.

A única variável presente na equação do Δ y que não conhecemos é o y m ' da viga. Calculamos esse valor, lembrando que podemos calcular a energia U m ' através da força P m ' que o bloco exerce sobre a viga, quando se choca com ela.

U m ' = P m ' y m ' 2

Substituindo essa equação na outra equação de U m ' , obtemos.

U m ' = W h       ⟹       P m ' y m ' 2 = W h

A equação resultante mostra que só falta achar uma equação de P m ' em função de y m ' para achar y m ' .

Achamos essa equação no apêndice D do livro.

y m ' = P m ' L 3 3 E I       ⟹     P m ' = 3 E I y m ' L 3

Agora, vamos substituir P m ' na equação de y m ' que deduzimos.

P m ' y m ' 2 = W h       ⟹       3 E I y m ' L 3 y m ' 2 = W h       ⟹       y m ' 2 = 2 W h L 3 3 E I       ⟹       y m ' = 2 W h L 3 3 E I

E é o módulo de elasticidade do material da viga que vale 200 × 10 9   P a , L é o comprimento da viga que vale 0,75   m e I é o momento de inércia da viga que pode ser calculado pela equação de momento de inércia para perfis quadrangulares abaixo.

I = b f d 3 12       ⟹       I = 16 × 16 3 12       ⟹       I = 5461,33   m m 4       ⟹       I = 5461,33 × 10 - 12   m 4

W é o peso do bloco.

W = m g       ⟹         W = 3 × 9,81       ⟹       W = 29,43   N

Substituindo tudo isso na equação de y m ' , achamos:

y m ' = 2 W h L 3 3 E I       ⟹       y m ' = 2 × 29,43 × 0,04 × 0,75 3 3 × 200 × 10 9 × 5461,33 × 10 - 12       ⟹       y m ' = 0 , 0174   m

Substituindo esse valor na equação do erro relativo Δ y .

Δ y = y m ' - y m y m ≤ y m ' 2 h

Δ y = 0 , 0174 - 0,0216 0,0216 ≤ 0 , 0174 2 × 0,04

Δ y = 0 , 19444 ≤ 0 , 2175

Acaboooou! Encontramos o que a letra (b) da questão pedia, verificando a fórmula que deduzimos na letra (a)!

Resposta

b   Δ y = 0 , 19444 ≤ 0 , 2175

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