Enunciado

Um bloco de peso W é colocado em contato com a superfície de uma viga, em um certo ponto D , e então é largado. Mostrar que a máxima deflexão resultante em D é duas vezes maior do que a deflexão devida a uma carga estática, aplicada em D , de mesmo valor W .

Passo 1

Fala, pessoal! Como anda a vida? Bora fazer um exercício de carga produzida por choque?

O enunciado quer que a gente compare a deformação sofrida por uma mesma viga em dois casos. No caso 1 a viga sofre o impacto de um bloco de peso W que é largado a uma altura h = 0   m da viga. Esse impacto gera uma força P m na viga e gera uma deflexão y 1 no ponto D da viga onde ocorre o impacto. Nesse caso, a energia potencial U 1 do bloco é absorvida pela viga.

U 1 = W h + y 1

No caso 2, uma força estática W é aplicada no ponto D da viga, causando uma deflexão y 2 nesse ponto D . Essa deformação y 2 pode ser encontrada no apêndice D do livro.

O enunciado quer que a gente mostre que:

y 1 = 2 y 2

A figura abaixo mostra esses dois casos.

No próximo passo vamos começar as contas determinando o valor de y 2 .

Passo 2

y 2 é obtido na equação presente no apêndice D .

y 2 = W a 2 b 2 3 E I L

onde E é o módulo de elasticidade do material da vida e I é o momento de inércia do perfil da viga.

Passo 3

Foi tranquilo achar y 2 , né? y 1 vai ser um pouquinho mais complicado!

Pra achar y 1 , temos que lembrar que existe uma equação para calcular U 1 em função da força P m produzida pelo impacto do bloco de massa W .

U 1 = P m y 1 2

Substituindo essa equação na outra equação de U 1 , obtemos.

U 1 = W h + y 1       ⟹       P m y 1 2 = W h + y 1

A equação resultante mostra que só falta achar uma equação de P m em função de y 1 para conseguir comparar y 1 com y 2 .

Achamos essa equação no apêndice D do livro.

y 1 = P m a 2 b 2 3 E I L       ⟹     P m = 3 E I L y 1 a 2 b 2

Ao invés de substituir P m na equação de y 1 , vamos descobrir quanto vale 3 E I L a 2 b 2 primeiro.

Passo 4

Se a gente reorganizar a equação de y 2 , conseguimos descobrir quanto vale 3 E I L a 2 b 2 .

y 2 = W a 2 b 2 3 E I L       ⟹       3 E I L a 2 b 2 = W y 2

Substituindo essa equação na fórmula de P m , achamos:

P m = W y 1 y 2

Agora, vamos substituir P m na equação de y 1 que deduzimos no passo 3.

P m y 1 2 = W h + y 1       ⟹       W y 1 y 2 y 1 2 = W h + y 1       ⟹       W y 1 2 2 y 2 = W h + y 1

Lembrando que h vale zero, encontramos:

W y 1 2 2 y 2 = W y 1

Como a deflexão y 1 é maior que zero, podemos cortar ela dos dois lados da equação. Também podemos cortar W !

y 1 2 y 2 = 1       ⟹       y 1 = 2 y 2

Aeeeeee! Mostramos o que a questão queria!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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