Enunciado

O colar D é abandonado da posição mostrada e deixado cair sobre uma placa, presa à extremidade C da barra de bronze vertical A B C . Sabendo-se que E = 105   G P a e σ a d m = 225   M P a , determinar a maior massa admissível para o colar.

Passo 1

Oie, galera! Vamos praticar os conhecimentos de resistência dos materiais fazendo uma questão de carregamento produzido por impacto?

A questão quer que a gente calcule a maior massa m que o bloco D pode ter sem danificar as barras A B e B C . Para elas não serem danificadas com o choque da massa m , a energia U que elas recebem com o impacto deve ser igual a máxima energia de deformação U m que as barras podem aguentar juntas!

U = U m

U m é a soma da energia U A B que a barra A B absorve ao ser carregada com a máxima força possível P m com a energia U B C que a barra B C absorve ao ser carregada com a máxima força possível P m . U A B e U B C são calculadas com a mesma equação 10.14 do livro.

U m = U A B + U B C       ⟹       U m = P m 2 L A B 2 A A B E + P m 2 L B C 2 A B C E

onde L A B e L B C são os comprimentos das barras A B e B C respectivamente, A A B e A B C são as áreas das seções transversais das barras A B e B C respectivamente e E é o módulo de elasticidade das duas barras.

A energia U que as barras absorvem com o impacto é a energia potencial E P que o bloco D tem antes de cair de uma altura igual a h + x m ( h é a distância entre o ponto C e D e x m é a deformação causada pelo impacto).

U = m g h + x m

A figura abaixo mostra os dados que temos para achar a massa m do bloco D .

Com todas essas informações em mãos, vamos começar as contas.

Passo 2

Iniciamos os cálculos, cumprindo a primeira etapa para descobrir quanto vale a energia U m . Para achar esse valor, precisamos encontrar a força máxima P m que faz as barras absorverem essa energia. P m é o valor da máxima tensão admissível σ a d m multiplicada pela área A B C da barra B C mais fina.

P m = σ a d m × A B C

Usamos a área A B C da barra mais fina, porque é a barra mais fina que cria as maiores tensões e, consequentemente é ela que se danifica primeiro. Ou seja, a máxima força P m é a máxima força que a barra B C mais frágil aguenta sem se danificar.

Como B C é uma barra cilíndrica, sua área A B C vale:

A B C = π d B C 2 4       ⟹       A B C = π × 35 2 4       ⟹       A B C = 962,11   m m 2

Para achar P m temos que converter σ a d m de M P a para P a , multiplicando σ a d m por 10 6 e A B C de m m 2 para m 2 , multiplicando esse valor por 10 - 6 .

P m = σ a d m × A B C       ⟹       P m = 225 × 10 6 × 962,11 × 10 - 6       ⟹       P m = 216475   N

No próximo passo vamos achar U m .

Passo 3

U m depende da área A A B da barra mais grossa. Logo, vamos determinar A A B .

A A B = π d A B 2 4       ⟹       A A B = π × 45 2 4       ⟹       A A B = 1590,43   m m 2

Antes de substituir os dados na equação de U m precisamos converter A A B de m m 2 para m 2 e E de G P a para P a . Para fazer isso, multiplicamos A A B por 10 - 6 e E por 10 9 .

U m = P m 2 L A B 2 A A B E + P m 2 L B C 2 A B C E

U m = 216475 2 × 2,5 2 × 1590,43 × 10 - 6 × 105 × 10 9 + 216475 2 × 2 2 × 962,11 × 10 - 6 × 105 × 10 9

U m = 814,64   J

Podemos substituir esse valor de U m na variável U da terceira equação do passo 1 para achar m . No entanto, ainda precisamos achar quanto vale a deformação x m causada pela força P m . Acharemos x m no próximo passo.

Passo 4

x m é encontrado, usando a equação 10.3 do livro que relaciona a energia absorvida por uma barra com sua deformação.

U m = P m x m 2       ⟹     x m = 2 U m P m       ⟹       x m = 2 × 814,64 216475       ⟹       x m = 0,00753   m

Substituindo esse valor na fórmula de U , encontramos a massa m do bloco que o enunciado quer!

U = m g h + x m   ⟹     m = U g h + x m   ⟹   m = 814,64 9,81 × 1,2 + 0,00753   ⟹   m = 68,8   k g

Foooooi! Acabamos com o problema! Agora é só correr pro abraço!

Resposta

m = 68,8   k g

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Para a viga e o carregamento mostrados, determine a deflexão do ponto B . Use E = 200G P a .
Para a viga e o carregamento mostrados, determine a declividade do ponto A . Use E = 200G P a .
Para a viga e o carregamento mostrados, determine a deflexão do ponto C . Use E = 200G P a .
Para a viga e o carregamento mostrados, determine a inclinação na extremidade A . Use E = 200G P a .
Para a treliça e o carregamento mostrados, determine a deflexão vertical e horizontal do nó C .