Enunciado

Com uma boa aproximação a pressão atrás de uma bala de espingarda varia inversamente com a posição do ponto x ao longo do cano. Assim, a aceleração da bala pode ser escrita como a = k / x , onde k é uma constante. Se a bala parte do repouso em x = 7,5   m m e se a velocidade de saída da bala é de 600   m / s no final dos 750   m m do cano, calcule a aceleração da bala quando esta passa o ponto médio do cano em x = 375   m m .

Passo 1

Galera, aqui queremos achar a aceleração quando x = 375   m m , mas já sabemos que essa aceleração vai ser dada por a = k / x . Então, o que precisamos fazer é calcular a constante k . Mas como?

Pra isso, temos que usar uma equação diferencial em que apareça a aceleração a , então temos duas opções:

d v = a     d t                     o u                     v   d v = a   d x

Porém, como o exercício já nos deu as velocidades e as distâncias, é melhor usar a equação:

v   d v = a   d x

Passo 2

Então, substituindo o valor a = k / x na equação, temos:

v   d v = k x   d x

Agora a gente manda ver na integração! Lembrando de converter 7,5   m m = 0,0075   m e 750   m m = 0,75   m :

∫ 0 600 v d v = k ∫ 0,0075 0,75 1 x   d x

v 2 2 0 600 = k   ln ⁡ x 0,0075 0,75

1 2 600 2 - 0 = k ln ⁡ 0,75 - ln ⁡ 0,0075

180000 = k ln ⁡ 0,75 0,0075

k = 180000 ln ⁡ 100 = 39086,5   m 2 / s 2

Passo 3

Show! Agora que temos o valor de k , basta substituir na expressão de a pra achar a aceleração em x = 375   m m = 0,375   m :

a = k x

  a = 39086,5   m 2 / s 2 0,375   m ≈ 104200   m / s 2 = 104,2   k m / s 2

Resposta

104,2   k m / s 2

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