Enunciado

O motorista de um carro, que está inicialmente em repouso no topo A de uma ladeira, libera os freios e desce em ponto morto com uma aceleração em metros por segundo ao quadrado dada por a = 0,981 - 0,013 v 2 , onde v é a velocidade em metros por segundo. Determine a velocidade v B na base B da ladeira.

Passo 1

Galera, aqui queremos achar a v B ao final dos 200   m . Como temos a expressão da aceleração a = 0,981 - 0,013 v 2 em termos da velocidade, e nos foi dada a distância de 200   m , temos que usar uma equação diferencial que relacione essas três coisas: velocidade, aceleração e distância.

Então, podemos usar a seguinte equação diferencial:

v   d v = a   d s

Substituindo o valor de a :

v   d v = 0,981 - 0,013 v 2   d s

Passo 2

Show! Agora, vamos dar uma ajeitadinha na equação e integrá-la:

v 0,981 - 0,013 v 2   d v = d s

∫ 0 v B v 0,981 - 0,013 v 2   d v = ∫ 0 200 d s

Pra calcular a integral da esquerda, lembre-se do seguinte:

∫ x A - B x 2   d x = - 1 2 B ln ⁡ A - B x 2

Então, temos:

- 1 2   .   0,013 ln ⁡ 0,981 - 0,013 v 2 0 v B = s 0 200

- 1 0,026 ln ⁡ 0,981 - 0,013 v B 2 - ln ⁡ 0,981 = 200 - 0

ln ⁡ 0,981 - 0,013 v B 2 0,981 = - 5,2

Passo 3

Com a equação que a gente encontrou no passo anterior, vamos tentar isolar v B , que é o que realmente queremos achar:

ln ⁡ 0,981 - 0,013 v B 2 0,981 = - 5,2

0,981 - 0,013 v B 2 0,981 = e - 5,2

0,981 - 0,013 v B 2 = 0,981   e - 5,2

0,981 - 0,013 v B 2 = ± 0,981   e - 5,2

Como a aceleração em B é a B =   0,981 - 0,013 v B 2 , e o carro desce a ladeira sem freios, podemos considerar que a aceleração é sempre positiva, ou seja:

0,981 - 0,013 v B 2 = + 0,981   e - 5,2

0,013 v B 2 = 0,981 - 0,0054

v B = 0,981 - 0,0054 0,013 = 8,663   m / s

Resposta

v B = 8,663   m / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O bloco B inicia em repouso, bloco A se movimenta com aceleração constante, e o bloco deslizante C se movimenta para a direito com aceleração constante de 75 m m / s ² ². Sabendo que em t = 2 s as vel
Para a partícula e o movimento, construa as curvas v-t e x-t para 0t 20 s e determine: (a) o valor máximo de velocidade da partícula, (b) o valor máximo da sua posição coordenada.
Um paraquedista está em queda livre a uma taxa de 200 km/h quando abre seu paraquedas a uma altitude de 600 m. Seguindo-se uma desaceleração rápida e constante, ele então cai para uma taxa constante d
Um sensor de temperatura está acoplado ao cursor AB, que se desloca para frente e para trás ao longo de 60 cm. As velocidades máximas do cursor são 12 cm/s para a direita e 30 cm/s para a esquerda. Qu
O colar A parte do repouso em t = 0 e se movimenta para baixo com uma aceleração constante de 140 m m / s ² ². O colar B se movimenta para cima cm uma aceleração constante e sua velocidade inicial é d