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O motorista de um carro, que está inicialmente em repouso no topo A de uma ladeira, libera os freios e desce em ponto morto com uma aceleração em metros por segundo ao quadrado dada por a = 0,981 - 0,013 v 2 , onde v é a velocidade em metros por segundo. Determine a velocidade v B na base B da ladeira.

Passo 1

Galera, aqui queremos achar a v B ao final dos 200   m . Como temos a expressão da aceleração a = 0,981 - 0,013 v 2 em termos da velocidade, e nos foi dada a distância de 200   m , temos que usar uma equação diferencial que relacione essas três coisas: velocidade, aceleração e distância.

Então, podemos usar a seguinte equação diferencial:

v   d v = a   d s

Substituindo o valor de a :

v   d v = 0,981 - 0,013 v 2   d s

Passo 2

Show! Agora, vamos dar uma ajeitadinha na equação e integrá-la:

v 0,981 - 0,013 v 2   d v = d s

∫ 0 v B v 0,981 - 0,013 v 2   d v = ∫ 0 200 d s

Pra calcular a integral da esquerda, lembre-se do seguinte:

∫ x A - B x 2   d x = - 1 2 B ln ⁡ A - B x 2

Então, temos:

- 1 2   .   0,013 ln ⁡ 0,981 - 0,013 v 2 0 v B = s 0 200

- 1 0,026 ln ⁡ 0,981 - 0,013 v B 2 - ln ⁡ 0,981 = 200 - 0

ln ⁡ 0,981 - 0,013 v B 2 0,981 = - 5,2

Passo 3

Com a equação que a gente encontrou no passo anterior, vamos tentar isolar v B , que é o que realmente queremos achar:

ln ⁡ 0,981 - 0,013 v B 2 0,981 = - 5,2

0,981 - 0,013 v B 2 0,981 = e - 5,2

0,981 - 0,013 v B 2 = 0,981   e - 5,2

0,981 - 0,013 v B 2 = ± 0,981   e - 5,2

Como a aceleração em B é a B =   0,981 - 0,013 v B 2 , e o carro desce a ladeira sem freios, podemos considerar que a aceleração é sempre positiva, ou seja:

0,981 - 0,013 v B 2 = + 0,981   e - 5,2

0,013 v B 2 = 0,981 - 0,0054

v B = 0,981 - 0,0054 0,013 = 8,663   m / s

Resposta

v B = 8,663   m / s

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →