Enunciado

A bola de 0,5 kg de dimensão desprezível é lançada para cima na pista circular vertical lisa usando o pistão com mola. O pistão mantém a mola comprimida 0,08 m quando s = 0 . Determine até que s ele deve ser puxado para trás e solto de maneira que a bola vá começar a deixar a pista quando θ = 135 ° .

Passo 1

O enunciado nos deu as seguintes informações:

Massa da bola: m = 0,5 kg;

Pista lisa: força de atrito desprezível.

Para s = 0 , a mola esta comprimida ∆ s = 0,08 m.

Devemos determinar o valor de s para o qual a bola irá deixar a pista em θ = 135 ° , ou seja, quando a força normal seja nula ( N = 0 ) neste ponto.

Primeiramente, vamos desenhar o diagrama de corpo livre da bola no instante em que θ = 135 ° :

Onde W = m g é a força peso e N é a força normal. Como é um movimento circular, teremos a ação da aceleração normal a n .

Passo 2

Vamos aplicar a Equação de Movimento:

Em n :

∑ F n = m a n

N + m g cos ⁡ 45 ° = m a n

0 + 0,5 9,81 cos ⁡ 45 ° = 0,5 a n

a n = 6,94   m / s 2

Sabemos que

a n = v 2 ρ

Logo, podemos descrobrir a velocidade da bola no ponto B .

v B = a n ρ = ( 6,94 ) ( 1,5 )

v B = 3,23   m / s

Passo 3

Agora vamos aplicar o Princípio do Trabalho e Energia para descobrir o valor de s .

Assumimos que, inicialmente, a bola estava em repousou, portanto v 1 = 0 .

O trabalho exercido pela mola é positivo, uma vez que empurra a bola no mesmo sentido do deslocamento. A força F s é dada como F s = k ∆ s . Para θ = 135 ° ,

F s = 500 s + 0,08

A força peso, por outro lado, exercerá um trabalho negativo, pois age sobre a bola no sentido oposto ao deslocamento dela. No ponto onde θ = 135 ° , y = 1,5 + 1,5 sen ⁡ 45 ° .

Temos que

T 1 + ∑ U 1 - 2 = T 2

onde

T 1 = 1 2 m v 1 2 = 0

T 2 = 1 2 m v B 2 = 2,6

U 1 - 2 = - W y + ∫ 0 s 500 s + 0,08 d s = - m g y + 250 s 2 + 40 s

Substituindo esses valores na equação inicial, obtemos

0 - 0,5 9,81 1,5 + 1,5 sen ⁡ 45 ° + 250 s 2 + 40 s = 2,6

250 s 2 + 40 s - 15,16 = 0

A raíz positiva da equação de segundo grau acima nos da o seguinte valor:

s = 0,1789   m = 179   m m

Resposta

s = 179   m m

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