Enunciado

“Bombeando” enquanto balança, o menino aumenta a amplitude de oscilação de θ 0 para θ 1 pela variação abrupta da posição de sentado para a de deitado de costas no início de cada oscilação pra frente e invertendo as posições no início de cada oscilação para trás. Considere o menino como uma partícula em cada uma das duas configurações onde a trajetória do seu centro de massa é mostrada pela linha tracejada. Qualquer perda de energia mecânica ( T + V g ) entre G 1 e G 3 pode ser considerada como sendo desprezível. Expresse θ 1 em termos de θ 0 , R e h .

Passo 1

O trajeto que o menino faz o seguinte trajeto:

G 1 → G 2 → G 3 → G 4

A lei de conservação de energia vale para qualquer par de pontos que quisermos:

U i + T i = U j + T j

Vamos aplicar isso aos pontos 1 e 3 , que são os pontos de retorno na oscilação do menino:

U 1 + T 1 = U 3 + T 3

E o jeito mais fácil de resolver essa questão é lembrar que nos limites das trajetórias a velocidade é nula, porque o menino para antes de começar a retornar. Então:

U 1 = U 3

Passo 2

Agora vamos tentar escrever as energias potenciais nesses dois pontos, considerando que a energia é zero no ponto A :

E agora podemos calcular as “alturas” desses pontos em relação ao ponto A para calcular as energias potenciais:

U 1 = R cos ⁡ θ 0

U 3 = R + h cos ⁡ θ 1

E então:

U 1 = U 3

R cos ⁡ θ 0 = R + h cos ⁡ θ 1

θ 1 = arccos ⁡ R R + h cos ⁡ θ 0

Resposta

O ângulo é θ 1 = arccos ⁡ R R + h cos ⁡ θ 0 .

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