Enunciado

O brinquedo do parque de diversões gira em torno do ponto fixo O . Um mecanismo (não apresentado) impulsiona a unidade de acordo com θ = π / 3 sen ⁡ 0,950 t , onde θ está em radianos e t está em segundos. Determine a força normal máxima N exercida pelo assento sobre um passageiro de massa m , e indique quais dos passageiros são submetidos à força máxima.

Passo 1

Como o brinquedo mantém as pessoas em uma trajetória circular, nós podemos ter certeza de que existe uma resultante centrípeta atuando sobre elas:

Escrevendo isso matematicamente:

∑ F n = m v 2 r = m r θ ˙ 2

Onde F n é a resultante das forças na direção radial: a força normal e a componente da força peso na direção vertical (lembre-se de que estamos falando das pessoas, e não do brinquedo em si.

N - P y = m r θ ˙ 2

N = P y + m r θ ˙ 2

E definimos o sentido positivo como vertical para cima.

Passo 2

Já temos quase tudo o que precisamos, só falta achar a derivada temporal do deslocamento angular θ , que é simplesmente a velocidade angular:

θ ˙ = d d t θ = d d t ( π / 3 sen ⁡ 0,950 t )

θ ˙ = π 3 0,950 cos ⁡ ( 0,950 t )

E então a fórmula da força normal é:

N = P y + m r π 3 0,950 cos ⁡ 0,950 t

Como estamos atrás do valor máximo da força normal, vamos considerar o ponto onde a componente P y do peso é máxima:

P y = m g

E claramente o valor máximo da força normal acontece quando o cosseno é igual a 1 :

N M á x = m g + 0,950   π r 3

E já temos todos os valores, considerando que o enunciado pede a resposta em termos da massa m .

N m á x ≅ 20,7   m

Passo 3

Acabamos respondendo a segunda pergunta no meio do passo anterior: vamos olhar de novo para a nossa fórmula da força normal:

N = P y + m r θ ˙ 2

E vimos que o P y é máximo quando a pessoa está exatamente embaixo do ponto fixo θ . Isso quer dizer que a força normal é maior para quem está no ponto mais baixo da trajetória.

Isso quer dizer que os passageiros sentados mais próximos ao meio do brinquedo são submetidos à força máxima, pois eles ficam mais próximos desse ponto mais baixo conforme o brinquedo oscila.

Resposta

A força normal máxima é N m á x = 20,7   m e os passageiros sentados no meio do brinquedo são submetidos à força máxima.

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