Enunciado

O pequeno objeto é colocado sobre a superfície interna do prato cônico no raio mostrado. Se o coeficiente de atrito estático entre o objeto e a superfície cônica é 0,30 , para qual faixa de velocidades angulares ω em torno do eixo vertical o bloco permanecerá sobre o prato sem deslizar? Assuma que as variações de velocidade são realizadas lentamente de modo que qualquer aceleração angular pode ser desprezada.

Passo 1

Primeiro vamos tentar entender o sentido físico do problema: se o prato gira rápido demais, a ação “centrífuga” vai fazer com que o objeto se mova para cima. Se o prato gira devagar demais, o peso do objeto vai fazê-lo deslizar para baixo.

Vamos começar procurando o valor mínimo da velocidade angular para que o bloco não deslize para baixo. Nesse caso, o atrito estático vai ser voltado para cima, pois ele se opõe ao deslizamento:

Na direçao da linha pontilhada n , que contém o centro da trajetória circular, tem que existir uma resultante centrípeta, ou seja:

∑ F n = N sen ⁡ θ - F a t cos ⁡ θ = m r ω 2

E na direção vertical a resultante tem que ser nula:

∑ F y = N cos ⁡ θ + F a t sen ⁡ θ - m g = 0

Passo 2

Agora vamos resolver esse par de equações, primeiro precisamos reescrever a força de atrito como:

F a t = N μ s

E pela segunda equação temos:

N cos ⁡ θ + N μ s sen ⁡ θ - m g = 0         ⇒           N = m g cos ⁡ θ + μ s sen ⁡ θ

Substituindo isso na primeira:

N sen ⁡ θ - F a t cos ⁡ θ = m r ω 2

m g cos ⁡ θ + μ s sen ⁡ θ sen ⁡ θ - m g cos ⁡ θ + μ s sen ⁡ θ μ s cos ⁡ θ = m r ω 2

E então:

ω m í n = g r sen ⁡ θ - μ s cos ⁡ θ cos ⁡ θ + μ s sen ⁡ θ

ω m í n = ( 9,81 ) ( 0,2 ) sen ⁡ 30 ° - ( 0,3 ) cos ⁡ 30 ° cos ⁡ 30 ° + ( 0,3 ) sen ⁡ 30 °

ω m í n = 3,40   r a d / s

Esse é o valor mínimo da velocidade angular para que o bloco não escorregue para baixo.

Passo 3

Para encontrar o valor máximo, precisamos apenas fazer uma modificação simples: alterar o sentido da força de atrito.

E não precisamos refazer a conta toda, é só trocar o sinal nos termos que envolvem o atrito na nossa fórmula final da velocidade angular mínima:

ω m í n = g r sen ⁡ θ - μ s cos ⁡ θ cos ⁡ θ + μ s sen ⁡ θ

Trocando os sinais ficamos com:

ω m á x = g r sen ⁡ θ + μ s cos ⁡ θ cos ⁡ θ - μ s sen ⁡ θ

E substituindo os mesmos valores numéricos:

ω m á x = 7,21   r a d / s  

E então o intervalo de velocidades em que o bloco não desliza é:

3,40 r a d s ≤ ω ≤ 7,21 r a d s

Resolvido!

Resposta

A velocidade angular precisa ficar entre 3,40   r a d / s e 7,21   r a d / s .

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