Enunciado

O cabo de 10   k g / m é suspenso entre os suportes A e B. Se o cabo pode sustentar uma tração máxima de 1,5 kN e a fecha máxima é 3 m, determine a distância máxima L entre os suportes.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta é uma questão semelhante ao exercício resolvido 7.13. Inclusive, vamos aproveitar as equações lá desenvolvidas para resolver a questão!

Aqui o nosso objetivo é determinar a distância máxima L entre os suportes. Para isto, vamos começar pela equação da flecha do cabo, a equação y = f x . Do Exemplo 7.13 nós temos que:

y = F H w 0 cosh ⁡ w 0 F H x - 1

Antes de substituirmos os valores, vamos calcular o peso do fio! Ele será:

w 0 = 9,81 ⋅ 10 = 98,1   N / m

Continuando, vamos substituir todos os valores que a questão nos deu. Desta forma, temos:

3 = F H 98,1 cosh ⁡ 2 98,1 L 2 - 1

294,3 = F H cosh ⁡ L 98,1 - 1

Eita! Acabou que temos duas incógnitas na equação acima e ainda não conseguimos determinar nada!

Mas calma! Basta obtermos outra equação com ambas as incógnitas para montar um sistema e assim conseguir obter as incógnitas.

Passo 2

E agora, qual é a nossa segunda equação???

Vamos trabalhar com a tração máxima do cabo, que é 1,5   k N e nós conhecemos. Para calcularmos a tração máxima, temos:

T m á x = F H cos ⁡ θ m á x

Só que para chegarmos na relação de cos ⁡ θ m á x , vamos ter que escrever primeiro quem é tan ⁡ θ m á x , pois esta é a única relação que nós conhecemos. Como o ângulo de máxima inclinação ocorre na extremidade A ou B do cabo, a relação será:

tan ⁡ θ m á x = d y d x s = s m á x = w 0 s F H

Mas o comprimento s não importa nesta questão, apenas o comprimento x , pois é ele quem escrevemos o comprimento L . Então, como s = F H w 0 senh ⁡ w 0 x F H , temos:

tan ⁡ θ m á x = d y d x x = L / 2 = senh ⁡ w 0 x F H

E como chegamos ao cosseno? Para isto, temos a seguinte relação trigonométrica:

sen 2 ⁡ θ m á x + cos 2 ⁡ θ m á x = 1

tan 2 ⁡ θ m á x + 1 = 1 cos 2 ⁡ θ m á x

cos ⁡ θ m á x = 1 tan 2 ⁡ θ m á x + 1 = 1 senh 2 ⁡ w 0 x F H + 1 = 1 senh 2 ⁡ 49,05 L 2 F H + 1

Agora sim chegamos a nossa segunda equação do sistema:

1500 = F H senh 2 ⁡ 49,05 L 2 F H + 1

Passo 3

Após os dois primeiros Passos chegamos ao seguinte sistema de equação:

294,3 = F H cosh ⁡ L 98,1 - 1 1500 = F H senh 2 ⁡ 49,05 L 2 F H + 1

Resolvendo o sistema acima obtemos L = 16,8   m !

E assim finalizamos a questão!

Resposta

L = 16,8   m

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7.7. Uma barra semicircular é carregada tal como mostra a figura. Determine as forças internas no ponto J.
7.5. Determine as forças internas no ponto J da estrutura mostrada na figura
7.4. Determine as forças internas no ponto J quando α = 0 °
Determine a carga distribuída uniforme máxima w 0N / m que o cabo pode suportar se ele é capaz de sustentar uma tração máxima de 60k N .
O cabo suporta a carga distribuída uniforme de w 0 = 12k N / m . Determine a tração no cabo em cada apoio A e B .