Enunciado

Determine a força nos membros A F , A B , A D , E D , F D E B D da treliça espacial e indique se os membros estão sob tração ou compressão.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Como dissemos na questão 6.55, está é uma continuação da questão anterior.

Para que pudéssemos determinar as forças nos membros da questão 55, acabamos calculando algumas das forças que aqui nos foi pedido, como por exemplo:

F D E = 1,4   k N   C o m p r e s s ã o

F D B = 1,8   k N   C o m p r e s s ã o

F A B = 800   N   C o m p r e s s ã o

Só nos resta então determinarmos as forças nos membros A F , A D e F D .

Sendo assim, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar a questão determinando a direção de atuação das forças em cada barra.

Nosso objetivo final será escrever a força como um escalar multiplicado pelo versor de cada direção. Portanto, vamos começar escrevendo os versores de cada direção. Eles são:

u → F E = F E → E B → = 0 ; 3 ; 0 0 2 + 3 2 + 0 2 = 0 ; 1 ; 0

u → F B = F B → F B → = 1 ; 3 ; - 1,5 1 2 + 3 2 + - 1,5 2 = 1 3,5 ; 3 3,5 ; - 1,5 3,5

u → A F = A F → A F → = - 1 ; 0 ; 1,5 - 1 2 + 0 2 + 1,5 2 = - 1 3,25 ; 0 ; 1,5 3,25

u → D F = D F → D F → = 1 ; 0 ; 1,5 1 2 + 0 2 + 1,5 2 = 1 3,25 ; 0 ; 1,5 3,25

u → D C = D C → D C → = 0,3 , 0 0 2 + 3 2 + 0 2 = 0,1 , 0

u → D B = D B → D B → = 2 ; 3 ; 0 2 2 + 3 2 + 0 2 = 2 13 ; 3 13 ; 0

u → D E = D E → D E → = 1 ; 3 ; 1,5 1 2 + 3 2 + 1,5 2 = 1 3,5 ; 3 3,5 ; 1,5 3,5

u → A D = A D → A D → = - 2,0 , 0 - 2 2 + 0 2 + 0 2 = 1 ; 0 ; 0

Agora, que sabemos os versores de cada direção, podemos aplicar o método dos nós.

Passo 3

Vamos começar aplicando o método dos nós para o nó F . Para isto, vamos utilizar os valores de F F E = 1,2   k N   T r a ç ã o e F F B = 2,1   k N   T r a ç ã o calculados na questão anterior

Como temos equilíbrio, pelo somatório de forças temos:

- λ F E u → F E - λ F B u → F B + λ A F u → A F + λ D F u → D F + R F = 0

0 ; 1 , 2 ; 0 + 0,6 ; 1,8 ; - 0,9 + - 1 3,25 λ A F ; 0 ; 1,5 3,25 λ A F + 1 3,25 λ D F ; 0 ; 1,5 3,25 λ D F + 0 ; F y ; 0 = 0

0,6 - 1 3,25 λ A F + 1 3,25 λ D F = 0 1,2 + 1,8 + F y = 0 - 0,9 + 1,5 3,25 λ A F + 1,5 3,25 λ D F = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos que λ D F = 0 e λ A F = 1,08 . A força R F nós não precisamos calcular. Ela surgiu devido a barra horizontal que tem no ponto F , o que confere a rigidez ao sistema.

Portanto, as forças em cada membro serão:

F A F = 1,08   k N   C o m p r e s s ã o

F D F = 0

Passo 4

Para finalizarmos a questão, vamos para o nó D . Para isto, vamos utilizar os valores de F D C = 0 , F D B = 1,8   k N   C o m p r e s s ã o e F D E = 1,4   k N   C o m p r e s s ã o calculados na questão anterior

Como temos equilíbrio, pelo somatório de forças temos:

- λ D C u → D C - λ D B u → D B - λ D E u → D E + λ A D u → A D + λ D F u → D F + R D = 0

0 ; 0 ; 0 + - 1 ; - 1,5 ; 0 + - 0,4 ; - 1,2 ; - 0,6 + λ A D ; 0 ; 0 + 0 ; 0 ; 0 + 0 ; D y ; D z = 0

- 1 - 0,4 + λ A D = 0 - 1,5 - 1 , 2 + D y = 0 - 0 , 6 + D z = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos que λ A D = 1,4 . Portanto, a força no membro A D será:

F A D = 1 , 4   k N   C o m p r e s s ã o

E assim finalizamos a questão!

Resposta

F D E = 1,4   k N   C o m p r e s s ã o

F D B = 1,8   k N   C o m p r e s s ã o

F A B = 800   N   C o m p r e s s ã o

F A F = 1,08   k N   C o m p r e s s ã o

F D F = 0

F A D = 1,4   k N   C o m p r e s s ã o

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