Enunciado

Determine a força nos membros B E , B C , B F e C E da treliça espacial e indique se os membros estão sob tração ou compressão.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Temos aqui o caso de uma treliça espacial. Aqui, nesta questão, precisamos determinar a força nos membros B E , B C , B F e C E e identificar se estão sob tração ou compressão.

É importante destacarmos que, durante a questão, vamos identificar as forças em várias outras barras, apesar de não serem necessárias. Entretanto, não se desanimem, pois estes valores serão utilizados na questão posterior, a 6.56!

Continuando, a metodologia de análise é a mesma que no caso da treliça plana. Isto é, podemos utilizar o método dos nós ou das seções.

A grande diferença é que, por ter três dimensões para analisar as contas, elas acabam dando um pouco mais de trabalho, mas não é tanto assim.

Sendo assim, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar a questão determinando a direção de atuação das forças em cada barra.

Nosso objetivo final será escrever a força como um escalar multiplicado pelo versor de cada direção. Portanto, vamos começar escrevendo os versores de cada direção. Eles são:

u → E C = E C → E C → = - 1 ; 0 ; - 1,5 - 1 2 + 0 2 + - 1,5 2 = - 1 3,25 ; 0 ; - 1,5 3,25

u → D C = D C → D C → = 0,3 , 0 0 2 + 3 2 + 0 2 = 0,1 , 0

u → B C = B C → B C → = - 2,0 , 0 - 2 2 + 0 2 + 0 2 = 1 ; 0 ; 0

u → B E = B E → B E → = - 1 ; 0 ; 1,5 - 1 2 + 0 2 + 1,5 2 = - 1 3,25 ; 0 ; 1,5 3,25

u → D E = D E → D E → = 1 ; 3 ; 1,5 1 2 + 3 2 + 1 , 5 2 = 1 3,5 ; 3 3,5 ; 1,5 3,5

u → F E = F E → E B → = 0 ; 3 ; 0 0 2 + 3 2 + 0 2 = 0 ; 1 ; 0

u → A B = A B → A B → = 0,3 , 0 0 2 + 3 2 + 0 2 = 0,1 , 0

u → F B = F B → F B → = 1 ; 3 ; - 1,5 1 2 + 3 2 + - 1,5 2 = 1 3,5 ; 3 3,5 ; - 1,5 3,5

u → D B = D B → D B → = 2 ; 3 ; 0 2 2 + 3 2 + 0 2 = 2 13 ; 3 13 ; 0

Agora, que sabemos os versores de cada direção, podemos aplicar o método dos nós.

Passo 3

Vamos começar aplicando o método dos nós para o nó C .

Como temos equilíbrio, pelo somatório de forças temos:

F C + λ E C u → E C + λ D C u → D C + λ B C u → B C = 0

0,0 , - 6 00 + - 1 3,25 λ E C ; 0 ; - 1,5 3,25 λ E C + 0 , λ D C , 0 + λ B C , 0,0 = 0

- 1 3,25 λ E C + λ B C = 0 λ D C = 0 - 6 00 - 1,5 3,25 λ E C = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos que λ E C = - 721 , λ B C = 400 e λ D C = 0 .

Como os versores foram definidos para ter extremidade final no ponto C . Então, podemos dizer que as forças estão “apontando para o nó C”. Em outras palavras, as forças foram definidas como compressivas.

Sendo assim, se obtermos λ > 0 , temos forças compressivas. Caso contrário, forças trativas.

Portanto, as forças em cada membro serão:

F E C = 721   N   T r a ç ã o

F B C = 400   N   C o m p r e s s ã o

F D C = 0

Passo 4

Agora é só repetirmos o mesmo procedimento, só que para os outros nós! Vamos para o nó E então!

Só devemos tomar um único cuidado! A força F E C = λ E C u → E C que obtivemos no Passo anterior deve mudar de sentido aqui, pois estamos analisando o outro extremo da barra.

Portanto, vamos escrever - λ E C u → E C ao fazermos o nosso somatório.

Então, como temos equilíbrio, pelo somatório de forças temos:

- λ E C u → E C + λ B E u → B E + λ D E u → D E + λ F E u → F E = 0

- 400 ; 0 ; - 600 + - 1 3,25 λ B E ; 0 ; 1,5 3,25 λ B E + 1 3,5 λ D E ; 3 3,5 λ D E ; 1,5 3,5 λ D E + 0 ; λ F E ; 0 = 0

- 400 - 1 3,25 λ B E + 1 3,5 λ D E = 0 3 3,5 λ D E + λ F E = 0 - 6 00 + 1,5 3,25 λ B E + 1,5 3,5 λ D E = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos que λ D E = 1400 , λ B E = 0 e λ F E = - 1200 .

Relembrando, se obtermos λ > 0 , temos forças compressivas. Caso contrário, forças trativas.

Portanto, as forças em cada membro serão:

F D E = 1,4   k N   C o m p r e s s ã o

F B E = 0

F F E = 1,2   k N   T r a ç ã o

Passo 5

Para finalizarmos a questão, vamos para o nó C . Novamente, não esqueçam de inverter o sentido das forças F B C e F B E .

Então, como temos equilíbrio, pelo somatório de forças temos:

F B + - λ B C u → B D - λ B E u → B E + λ A B u → A B + λ F B u → F B + λ D B u → D B = 0

0 ; 0 ; - 900 + - 400 ; 0 ; 0 + 0 ; 0 ; 0 + 0 , λ A B , 0 + 1 3,5 λ F B ; 3 3,5 λ F B ; - 1,5 3,5 λ F B + 2 13 λ D B ; 3 13 λ D B ; 0 = 0

- 400 + 1 3,5 λ F B + 2 13 λ D B = 0 λ A B + 3 3,5 λ F B + 3 13 λ D B = 0 - 9 00 - 1,5 3,5 λ F B = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos que λ F B = - 2100 , λ D B = 1803 e λ A B = 800 .

Relembrando, se obtermos λ > 0 , temos forças compressivas. Caso contrário, forças trativas.

Portanto, as forças em cada membro serão:

F F B = 2,1   k N   T r a ç ã o

F D B = 1,8   k N   C o m p r e s s ã o

F A B = 800   N   C o m p r e s s ã o

E assim finalizamos a questão!

Resposta

F E C = 721   N   T r a ç ã o

F B C = 400   N   C o m p r e s s ã o

F B E = 0

F F B = 2,1   k N   T r a ç ã o

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

. A treliça espacial é usada para suportar as forças nos nós B e D. Determine a força em cada membro e indique se os membros estão sob tração ou compressão.
Determine a força nos membros G F , F B e B C da treliça Fink e indique se os membros estão sob tração ou compressão.
Determine a força nos membros G J e G C da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão.
Determine a força nos membros C D ,C J ,G J eC G . Indique se os membros estão sob tração oucompressão.
A treliça espacial suporta uma força F = - 400 i → + 500 j → + 600 k →N . Determine a força em cada membro e indique se os membros estão sob tração ou compressão.