Enunciado

Determine a carga distribuída uniforme máxima w 0   N / m que o cabo pode suportar se ele é capaz de sustentar uma tração máxima de 60   k N .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Queremos determinar a carga distribuída uniforme máxima que o cabo pode suportar, sabendo que a tração máxima é 60   k N .

Assim, vamos ter que relacionar a máxima tração com o valor da carga distribuída.

Para que a gente possa determinar esta incógnita, precisamos determinar a equação da curva que define o cabo. E para isto, temos que resolver a seguinte integral:

y = 1 F H ∫ ∫ w x d x d x

Sendo w x = w 0 o carregamento aplicado na corda. Portanto, a nossa equação será:

y = 1 F H ∫ ∫ w 0 d x d x

y = 1 F H ∫ w 0 x + C 1 d x

y = 1 F H w 0 x 2 2 + C 1 x + C 2

Passo 2

Agora que obtivemos a equação da curvatura da corda, devemos aplicar as condições de contorno para descobrir as incógnitas C 1 , C 2 e F H .

Vamos fixar o sistema de coordenadas no ponto mais baixo do cabo, que está exatamente no meio do cabo. Aqui, temos as seguintes condições de contorno: y 0 = 0 , d y d x x = 0 = 0 e y 30 = 7 . Aplicando a primeira, temos:

y 0 = 1 F H w 0 ⋅ 0 2 2 + C 1 ⋅ 0 + C 2 = C 2 F H = 0 ⟹ C 2 = 0

Já aplicando a segunda, obtemos:

d y d x x = 0 = 1 F H w 0 ⋅ 0 + C 1 = C 1 F H = 0 ⟹ C 1 = 0

Por fim, aplicando a terceira condição, temos:

7 = w 0 ⋅ 30 2 F H ⟹ F H = 900 w 0 7

Portanto, a equação da corda é:

y x = 7 x 2 900

Passo 3

Bom, apesar de termos determinado várias incógnitas, ainda não determinamos quem é o carregamento distribuído w 0 .

Mas calma que já estamos lá! O fato de termos descoberto que F H = 900 w 0 7 é de muita importância para que a gente finalize a questão! Portanto, vamos continuar a nossa análise.

Sabemos que a máxima tração no cabo ocorrerá no ponto em que ele tiver a maior inclinação. Isto é, o ponto em que d y / d x for máximo.

Para esta questão, como d y d x = 14 x 900 , então, a inclinação será máxima nas extremidades, em x = ± 30   m .

Escolhendo x = 30   m , teremos θ m á x = arctan ⁡ d y d x x = 30 = arctan ⁡ 14 30 = 2 5 ° .

Por fim, como a tração máxima nos já conhecemos, e ela é calculada T m á x = F H cos ⁡ θ m á x , então, basta substituirmos os valores de cada incógnita para descobrir quem é w 0 . Logo,

T m á x = F H cos ⁡ θ m á x

60000 = 900 w 0 7 cos ⁡ 25 ° ⟹ w 0 = 423   N / m

E assim finalizamos a questão!

Resposta

w 0 = 423   N / m

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