Enunciado

Um cabo de 50 m é suspenso entre dois pontos por uma distância de 15 m de separação e na mesma elevação. Se a tração mínima nos cabos é 200 kN, determine o peso total do cabo e a tração máxima desenvolvida no cabo.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta é uma questão semelhante ao exercício resolvido 7.13. Pelo menos em termo de geometria (e solução de equação), ela é idêntica. Relembrando, a geometria é:

Aqui temos uma corda de comprimento s t o t a l = 50   m suspensa entre dois pontos por uma distância L = 15   m . A questão também nos diz que a tração mínima é T m í n = F H = 200   k N .

Com posse de todas as informações precisamos determinar o peso total do cabo, P = w 0 s t o t a l (assumimos aqui que o peso é distribuído uniformemente) e a tração máxima desenvolvida no cabo.

Para isto, precisamos determinar a equação da curva que define o cabo. E para isto, como o cabo está sujeito ao próprio peso, temos que começar resolvendo a seguinte integral:

x = ∫ d s 1 + 1 F H 2 ∫ w s d s 1 / 2

Para nossa alegria, já sabemos que o resultado da integração acima é:

x = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 s + C 1 + C 2

Passo 2

Agora temos que descobrir quem as constantes da nossa equação. Para isto, teremos que aplicar as condições de contorno do problema.

Para o sistema de coordenadas fixado no ponto de mínimo da corda, teremos as seguintes condições: s = 0 em x = 0 e d y d x s = 0 = 0 . Só que possamos aplicar estas condições, temos que manipular as nossas relações

Vamos começar aplicando d y d x s = 0 = 0 . Para isto, precisamos lembrar que:

d y d x = 1 F H ∫ w s d s

d y d x = 1 F H ∫ w 0 d s = 1 F H w 0 s + C 1

Sendo esse C 1 o mesmo da equação que obtivemos no Passo 1. Então, aplicando a condição, temos:

d y d x s = 0 = 1 F H w 0 ⋅ 0 + C 1 = 0 ⟹ C 1 = 0

Aplicando a condição que s = 0 quando x = 0 , temos:

0 = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 ⋅ 0 + C 2 ⟹ C 2 = 0

E assim chegamos à relação:

x = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 s

E consequentemente,

s = F H w 0 senh ⁡ w 0 x F H

Passo 3

Agora que obtivemos a equação de s como função de x , já podemos calcular a primeira informação da questão, que é o peso total do cabo. Substituindo todas as informações da questão, temos:

50 = 200 w 0 senh ⁡ w 0 15 2 200

Resolvendo a equação acima obtemos:

w 0 = 79,9   k N / m

E portanto, o peso total do cabo é:

P = 79,9 ⋅ 50 = 4   M N

Passo 4

Para finalizarmos a questão, basta descobrirmos a tração máxima na corda. Esta tração ocorrerá no ponto de maior inclinação. Isto é, o ponto em que d y / d x for máximo.

Para esta questão, como d y d x = w 0 s F H , obtido no Passo 2, então, a inclinação será máxima nas extremidades, em s = ± 25   m .

Escolhendo s = 25   m , teremos θ m á x = arctan ⁡ d y d x s = 25 = arctan ⁡ 9,9875 = 83,4 ° .

Por fim, a tração máxima será:

T m á x = F H cos ⁡ θ m á x = 200 ⋅ 10 3 cos ⁡ 84,3 ° = 2   M N

E assim finalizamos a questão!

Resposta

T m á x = 2   M N

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