Enunciado

Um cabo, com massa de 15 kg/m, está preso ao ponto A e passa sobre uma pequena polia B, situada sobre a mesma linha horizontal que A. Determine a deflexão h e o comprimento S do cabo entre A e B , se uma força de tração de 12 kN for aplicada ao cabo sobre a polia.

Passo 1

Para esse problema primeiro devemos perceber que esse cabo está sob efeito apenas da força peso, que age em cada elemento dependendo do comprimento desse elemento, e da tração. Esse é então um cabo catenário, e tem o formato dado pela seguinte equação:

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 + K

Escolhendo como origem o ponto mais baixo, temos o ponto ( 0,0 ) pertencendo à curva, então:

0 = T 0 μ + K ⇒ K = - T 0 μ

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1     ( 1 )

Sendo T 0 a tração horizontal no ponto mais baixo da corda e μ a intensidade da força por metro da corda. Outra equação dada pelo livro nos diz que para a corda catenária o tamanho da corda indo da origem até o ponto de coordenada x é dado por:

s = T 0 μ senh ⁡ μ x T 0       ( 2 )

Finalmente, temos a fórmula que relaciona a tração T em qualquer ponto da corda de coordenada x com a tração T 0 que age no ponto mais baixo:

T = T 0 cosh ⁡ μ x T 0       ( 3 )

Então devemos achar o valor de T 0 utilizando a eq. (3) para a extremidade direita da corda, para então aplicar as fórmulas (1) e (2) para achar h e S .

Passo 2

Primeiro aplicamos a eq. (3) para achar o valor de T 0 . Precisamos do valor de μ , que é a força peso que a corda sofre por metro de comprimento. Obtemos esse valor multiplicando a densidade linear pela aceleração da gravidade:

μ = 15   k g m × 9,81   m s 2 = 147,15   N m

Na extremidade da direita temos uma tração T = 12   k N = 12000   N , e como a origem é no meio temos x = 50   m . Nossa equação é então:

T = T 0 cosh ⁡ μ x T 0 ⇒ 12000 = T 0 cosh ⁡ 147,15 × 50 T 0

⇒ 12000 T 0 = cosh ⁡ 7357,5 T 0

Resolvendo essa equação com auxílio de um computador, vamos chegar ao valor:

T 0 = 4485   N = 4,485   k N

Passo 3

Tendo o valor de T 0 , agora usamos a eq. (1) na extremidade da direita, que possui coordenadas ( 50 ,   h ) :

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1 ⇒ h = 4485 147,15 cosh ⁡ 147,15 × 50 4485 - 1

= 30,4 cosh ⁡ 1,644 - 1 = 30,4 × 1,685

⇒ h = 51,22   m

Passo 4

Agora para achar S aplicamos a eq. (2). Vamos calcular da origem até o ponto B, e multiplicar por dois:

s = T 0 μ senh ⁡ μ x T 0 ⇒ S = 2 s = 2 × 4485 147,5 senh ⁡ 147,5 × 50 4485 = 60,81 senh ⁡ 1,644

⇒ S = 151.5   m

Resposta

h = 51,22   m

S = 151.5   m

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