Enunciado

5.47. Determine a força de cabo mínima T e o ângulo crítico θ que fará com que o caminhão reboque comece a inclinar, ou seja, que a reação normal em A seja zero. Assuma que o caminhão esteja freado e não deslizará em B. O caminhão tem massa total de 4   M g e centro de massa em G.

Passo 1

Fala, querido! Queremos saber T mínimo e θ quando N A = 0 . Vamos fazer um DCL. A gente vai representar esse carro com o guindaste por um retângulo:

Aí a gente vai usar as equações de equilíbrio da estática para achar o que ele pede.

Passo 2

Beleza, como o sistema está estático, podemos dizer que

∑ M B = 0

Repara que tanto a componente horizontal de T quanto a vertical vão causar momento em B . Então ambas aparecem aqui. Vamos considerar o sentido anti-horário positivo.

∑ M B = 4 ⋅ 10 3 ⋅ 9,81 - T ⋅ sin ⁡ θ ⋅ 3 - T ⋅ cos ⁡ θ ⋅ 1,5 = 0

Logo

T = 65400 cos ⁡ θ + 2 ⋅ sin ⁡ θ

Passo 3

Cara, encontramos ali em cima uma expressão para a tração em função do ângulo θ que faz com que o caminhão tombe. No entanto, o enunciado pediu para a gente encontrar o menor valor de tração que faria isso.

Como temos uma função e queremos o valor mínimo dessa função, é só lembrarmos de cálculo 1 que para encontrarmos o máximo ou mínimo de uma função, só precisamos derivar e igualar a zero.

d T d θ = 0

Então a gente precisa achar θ que satisfaz essa equação. Repara que o enunciado o chama de θ crítico e é exatamente por isso! Ele é o θ que zera nossa derivada. Ou seja, o ponto crítico de T θ .

Vamos calcular então:

T = 65400 cos ⁡ θ + 2 ⋅ sin ⁡ θ

d T d θ = - 65400 ⋅ ( - sin ⁡ θ + 2 ⋅ cos ⁡ θ ) cos ⁡ θ + 2 ⋅ sin ⁡ θ 2

E igualar a zero:

- 65400 ⋅ ( - sin ⁡ θ + 2 ⋅ cos ⁡ θ ) cos ⁡ θ + 2 ⋅ sin ⁡ θ 2 = 0

Logo podemos concluir que

( - sin ⁡ θ + 2 ⋅ cos ⁡ θ ) = 0

θ = t a n - 1 ( 2 ) = 63,4 °

Passo 4

Agora que sabemos θ, vamos calcular T

T = 65400 cos ⁡ 63,4 ° + 2 ⋅ sin ⁡ 63,4 ° = 29,2   k N

Resposta

θ = 63,4 °

T = 29,2   k N

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