Enunciado

Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante que atua sobre o suporte.

Passo 1

Fala ai galerinha do RespondeAí, tudo beleza? Nesse exercício aqui o enunciado nos fornece duas forças F 1 e F 2 que atuam sobre um suporte como na figura abaixo:

E com essas informações, o enunciado nos pede para encontrar a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante.

Passo 2

Iradoso, a primeira coisa que devemos fazer então é escrever as forças F 1 e F 2 em termos dos vetores unitários pra podermos somar suas componentes em cada eixo. Bora lá!

Para F 1 podemos usar os dois ângulos para escrever as componentes:

Tal que:

F 1 = 450   N - cos ⁡ 45 ° sen ⁡ 30 °   i ^ + cos ⁡ 45 ° cos ⁡ 30 ° j ^ + sen ⁡ 45 ° k ^  

F 1 = - 159 i ^ + 276 j ^ + 318 k ^ N

Passo 3

Já para F 2 temos:

E podemos encontrar as componentes F 2 x e F 2 y tal que:

F 2 x = F 2 cos ⁡ 45 °

F 2 x = 600 2 2

F 2 x = 424   N

E:

F 2 y = F 2 cos ⁡ 60 °

F 2 y = 600 1 2

F 2 y = 300   N

Agora para a componentes F 2 z precisamos do ângulo γ   entre F 2 e o eixo z :

E pra encontrar esse ângulo podemos lembrar da relação:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Logo:

2 2 2 + 1 2 2 + cos 2 ⁡ γ = 1

cos 2 ⁡ γ = 1 - 1 4 - 2 4

cos 2 ⁡ γ = 1 4

cos ⁡ γ = ± 1 2

E como a componente F 2 z   está na parte negativa do eixo z vamos ter que:

F 2 z = F 2 cos ⁡ γ

F 2 z = 600 - 1 2

F 2 z = - 300   N

De modo que a força F 2 em termos dos vetores unitários será escrita como:

F 2 = 424 i ^ + 300 j ^ - 300 k ^   N

Passo 4

Belezoca, agora que a gente já sabe os valores de F 1 e F 2 podemos encontrar a força resultante dada como:

F R = F 1 + F 2

Logo:

F R = - 159 i ^ + 276 j ^ + 318 k ^ + 424 i ^ + 300 j ^ - 300 k ^

Somando apenas coordenada i com coordenada i (o mesmo para as outras coordenadas), temos:

F R = 265 i ^ + 576 j   ̂ + 18 k ^   N

Agora que temos o vetor resultante, para calcularmos a intensidade de um vetor, é só a gente calcular seu módulo, que fica o seguinte:

F R = F x 2 + F y 2 + F z 2

F R = 265 2 + 576 2 + 18 2

F R = 633   N

Passo 5

Show de bolinhas, agora para determinar os ângulos do vetor resultante, aplicarmos a seguinte relação:

cos ⁡ α = F R x F R

cos ⁡ β = F R y F R

cos ⁡ γ = F R z F R

Aplicando a inversa do cosseno e substituindo os respectivos valores, vamos obter que:

α = cos - 1 ⁡ 265 633 = 65 , 3 °

β = cos - 1 ⁡ 576 633 = 24 , 5 °

γ = cos - 1 ⁡ 1 8 633 = 88,4 °

Resposta

F R = 633   N

α = 65 , 3 °

β = 24 , 5 °

γ = 88,4 °

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