Enunciado

Um cabo de tem peso de 30   N / m e é apoiado nos pontos que estão a 25 m um do outro e na mesma elevação. Se ele tem um comprimento de 26 m, determine a flecha.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta é uma questão semelhante ao exercício resolvido 7.13. Pelo menos em termo de geometria (e solução de equação), ela é idêntica. Relembrando, a geometria é:

Aqui temos um cabo de comprimento s t o t a l = 26   m suspensa entre dois pontos por uma distância L = 2 5   m . A questão também nos diz que o cabo tem peso w 0 = 30   N / m .

Com posse de todas essas informações, precisamos determinar a flecha h do cabo.

Para isto, precisamos determinar a equação da curva que define o cabo. E para isto, como o cabo está sujeito ao próprio peso, temos que começar resolvendo a seguinte integral:

x = ∫ d s 1 + 1 F H 2 ∫ w s d s 1 / 2

Para nossa alegria, já sabemos que o resultado da integração acima é:

x = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 s + C 1 + C 2

Passo 2

Agora temos que descobrir quem as constantes da nossa equação. Para isto, teremos que aplicar as condições de contorno do problema.

Para o sistema de coordenadas fixado no ponto de mínimo da corda, teremos as seguintes condições: s = 0 em x = 0 e d y d x s = 0 = 0 . Só que possamos aplicar estas condições, temos que manipular as nossas relações

Vamos começar aplicando d y d x s = 0 = 0 . Para isto, precisamos lembrar que:

d y d x = 1 F H ∫ w s d s

d y d x = 1 F H ∫ w 0 d s = 1 F H w 0 s + C 1

Sendo esse C 1 o mesmo da equação que obtivemos no Passo 1. Então, aplicando a condição, temos:

d y d x s = 0 = 1 F H w 0 ⋅ 0 + C 1 = 0 ⟹ C 1 = 0

Aplicando a condição que s = 0 quando x = 0 , temos:

0 = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 ⋅ 0 + C 2 ⟹ C 2 = 0

E assim chegamos à relação:

x = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 s

E consequentemente,

s = F H w 0 senh ⁡ w 0 x F H

Agora que obtivemos a equação de s como função de x , vamos determinar quem é F H . Para isto, basta utilizarmos outra condição de contorno, que temos também da geometria do cabo.

Quando s = s t o t a l 2 = 13 , temos x = L 2 = 12,5 . Portanto,

13 = F H 30 senh ⁡ 30 ⋅ 12,5 F H

Resolvendo a equação acima obtemos que F H = 770   N

Passo 3

Para determinarmos a flecha, e consequentemente finalizarmos a questão, precisamos determinar uma equação da forma y = f x . Lembrando do Passo 2, temos:

d y d x = w 0 s F H

Só que s = F H w 0 senh ⁡ w 0 F H x . Logo,

d y d x = senh ⁡ w 0 F H x ⟹ y = ∫ senh ⁡ w 0 F H x d x

y = F H w 0 cosh ⁡ w 0 F H x + C 3

Para que possamos calcular quem é y quando x = 12,5   m (o valor da flecha h ), temos antes que descobrir C 3 . E para isto, basta aplicarmos a condição de que y = 0 quando x = 0 . Logo,

0 = F H w 0 cosh ⁡ w 0 F H ⋅ 0 + C 3

C 3 = - F H w 0

E por fim, a flecha será:

y = F H w 0 cosh ⁡ w 0 F H x - F H w 0

h = 770 30 cosh ⁡ 30 770 ⋅ 12,5 - 770 30

h = 3,10   m

E assim finalizamos a questão!

Resposta

h = 3,10   m

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