Enunciado

Mostre que a curva de deflexão do cabo discutido no Exemplo 7.13 se reduz à Equação 4 no Exemplo 7.12 quando a função de cosseno hiperbólico é expandida em termos de uma série e apenas os dois primeiros termos são mantidos. (A resposta indica que a catenária pode ser substituída por uma parábola na análise do problema em que a flecha é pequena. Nesse caso, o peso do cabo é considerado uniformemente distribuído na horizontal.)

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Para resolvermos esta questão precisamos começar relembrando de dois pontos: a curva deflexão do cabo do Exemplo 7.13 e a equação 4 do Exemplo 7.12.

Começando pela curva deflexão, temos:

y = F H w 0 cosh ⁡ w 0 F H x - 1

Já a equação 4 é do Exemplo 7.12 é:

y = 4 h L 2 x 2

Que diferença, não é? Mas não se assustem! Agora que já recapitulamos, vamos para a nossa questão!

Passo 2

Talvez o mais difícil seja lembrar como escrevemos o cosseno hiperbólico como uma série de potências. Lá de cálculo nós aprendemos que:

cosh ⁡ x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + … = ∑ n = 0 ∞ x 2 n 2 n !

Portanto, quando x = w 0 F H x , e escrevendo o nosso cosseno hiperbólico utilizando os dois primeiros termos da série, teremos:

cosh ⁡ w 0 F H x = 1 + w 0 F H x 2 2 !

cosh ⁡ w 0 F H x = 1 + w 0 2 x 2 2 F H 2

Passo 3

Agora que escrevemos o cosseno hiperbólico em termos de série, basta substituirmos na equação da curva deflexão. Portanto,

y = F H w 0 cosh ⁡ w 0 F H x - 1

y = F H w 0 1 + w 0 2 x 2 2 F H 2 - 1

y = F H w 0 w 0 2 x 2 2 F H 2

y = w 0 x 2 2 F H

Só que lá do Exemplo 7.12 nós temos que F H = w 0 L 2 / 8 h . Portanto,

y = w 0 x 2 2 w 0 L 2 8 h

y = 4 h L 2 x 2

E assim chegamos à Equação 4 do Exemplo 7.12, finalizando a nossa questão!

Resposta

y = 4 h L 2 x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se o tubo tem uma massa por unidade de comprimento de 1500 kg/m, determine a tração máxima desenvolvida no cabo.
Se o tubo tem uma massa por unidade de comprimento de 1500 kg/m, determine a tração mínima desenvolvida no cabo.
Determine a tração máxima desenvolvida no cabo se ele estiver sujeito a uma carga uniforme de 600N / m .
Se a inclinação do cabo no apoio A é zero, determine a curva de deflexão y = f x do cabo e a tração máxima desenvolvida nele.
O cabo tem uma massa de 0,5k g / m e possui 25 m de extensão. Determine as componentes vertical e horizontal da força que ele exerce no topo da torre.