Enunciado

Um cabo tendo um peso por comprimento de 0,1   k N / m é suspenso entre apoios A e B . Determine a equação da curva catenária do cabo pelo seu comprimento do cabo.

Passo 1

O problema quer que a gente encontre equação da curva cetenária pelo comprimento do cabo.

Vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre, assim:

Onde o carregamento pode ser descrito como:

w s = 0,1   k N / m

Passo 2

Nós notamos que ( 0,0 ) na figura do problema, é o ponto mais baixo do cabo, vamos pegar a segunda derivada da equação do cabo, logo:

d 2 y d 2 x = w ( s ) F H = 0,1 F H 1 + d y d x 2

Se nós consideramos u = d y d x , então d u d x = d 2 y d 2 x , logo:

d u d x = d y 1 + u 2 = 0,1 F H d x

E integrando isso:

ln ⁡ u + 1 + u 2 = 0,1 F H x + C 1

Vamos encontrar C 1 , pra isso a gente usa a condição inicial, de que na origem, d y d x = 0 e x = 0 então:

0 = 0,1 F H ( 0 ) + C 1

Logo C 1 é igual a 0 .

Ficamos com:

ln ⁡ u + 1 + u 2 = 0,1 F H x

Agora, vamos dar uma ajeitada e tentar simplicar isso, calma, eu sei que parece muito estranho:

u + 1 + u 2 = e 0,1 F H x

d y d x = u = e 0 , 1 F H x - e - 0,1 F H x 2

Agora lembra que sinh ⁡ x = e x - e - x 2 , aí ficamos com:

d y d x = sinh ⁡ 0,1 F H x

Vamos aplicar na condição inicial, que é d y d x = tan ⁡ 30 ° , pois a derivada é a tangente do ângulo no ponto e x = 25   m :

tan ⁡ 30 ° = sinh ⁡ 0,1 F H ( 25 )

Assim descobrimos que:

F H = 4,551   k N

Subustituindo F H , na função derivada:

d y d x = sinh ⁡ 0,1 4,551 x

d y d x = sinh ⁡ ( 0,02197 x )

Integramos mais uma vez para chegarmos na função não derivada:

y = 4,551 0,1 ⋅ cosh ⁡ 0,02197 x + C 2

Testando a equação na condição inicial, onde x = 0 e y = 0 , encontramos que:

C 2 = - 4,551 0,1 = - 45,51

Logo, ficamos com:

y = 45,51 ⋅ cosh ⁡ 0,02197 x - 1

Passo 3

Tá quase acabando, vamos agora pegar o diagrama do corpo livre, assim:

E usamos as equações de equilíbrio nos dois eixos:

x →   T cos ⁡ θ - 4,551 = 0

y →   T s en ⁡ θ - 0,1 s = 0

Eliminando T , temos:

d y d x = tan ⁡ θ = 0,02197 s

Passo 4

Então igualamos a equação derivada:

sinh ⁡ 0 , 02197 x = 0,02197 s

Assim encontramos:

s = sinh ⁡ 0,02197 x 0,02197

Substitumos o x por 25 , e obtemos a resposta:

L = sinh ⁡ 0,02197 ( 25 ) 0,02197 = 26,28   m

Resposta

F H = 4,551   k N

y = 45,51 ⋅ cosh ⁡ 0,02197 x - 1

L = 26,28   m

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