Enunciado

Cada uma das duas engrenagens carrega uma massa excêntrica me está livre para girar no plano vertical em torno de seu rolamento. Determine os valores de θ para o equilíbrio e identifique o tipo de equilíbrio para cada posição.

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de força ativa

Observe que não há forças externas agindo nem molas ligadas ao sistema, portanto, podemos escrever a equação de equilíbrio como

δ V = 0 δ V g = 0 (1)

Podemos ver no esboço que as alturas h1 e h2 são

h 1 = 2 a c o s ⁡ θ h 2 = a c o s ⁡ 2 θ

Passo 2

Uma vez que temos duas massas aqui, podemos escrever a expressão para a energia potencial gravitacional como

V g = m g h 1 + m g h 2 V g = m g h 1 + h 2

Podemos substituir h1 por 2acosθ e h2 por acos2θ

V g = m g ( 2 a c o s ⁡ θ + a c o s ⁡ 2 θ )

Derivamos ambos lados da equação

δ V g = m g ( - 2 a s i n ⁡ θ - 2 a s i n ⁡ 2 θ ) δ V g = - 2 a m g ( s i n ⁡ θ + s i n ⁡ 2 θ ) (2)

Passo 3

A seguir, substituiremos δVg pela expressão (2) na equação de equilíbrio (1)

- 2 a m g ( s i n ⁡ θ + s i n ⁡ 2 θ ) = 0

Podemos dividir os dois lados da equação por -2 amg

s i n ⁡ θ + s i n ⁡ 2 θ = 0

substituiremos s i n ⁡ 2 θ by 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ

s i n ⁡ θ + 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ = 0 s i n ⁡ θ ( 1 + 2 c o s ⁡ θ ) = 0

O sistema está em equilíbrio quando

s i n ⁡ θ = 0

θ = 0 ∘ θ = 180 ∘

Ou

1 + 2 c o s ⁡ θ = 0 c o s ⁡ θ = - 0.5

θ = 120 ∘ θ = 240 ∘

Passo 4

Observe que o sistema é estável quando a segunda derivada da equação de equilíbrio é maior que zero. e instável quando a segunda derivada é menor que zero

A segunda derivada da equação de equilíbrio é

[ - 2 a m g ( s i n ⁡ θ + s i n ⁡ 2 θ ) ] d V d θ

- 2 a m g ( c o s ⁡ θ + 2 c o s ⁡ 2 θ ) (3)

Passo 5

Para verificar a estabilidade das posições θ = 0∘, 180 ∘, 120 ∘ ,240 ∘, vamos simplesmente colocar o valor de θ na expressão (3) e verificar se a expressão é positiva ou negativo

θ = 0 ∘   - 2 a m g c o s ⁡ 0 ∘ + 2 c o s ⁡ 2 ⋅ 0 ∘ = = - 2 a m g ⋅ 3 < 0

Uma vez que a segunda derivada é menor que zero, o sistema é instável

θ = 180 ∘   - 2 a m g c o s ⁡ 180 ∘ + 2 c o s ⁡ 2 ⋅ 180 ∘ = = - 2 a m g ( - 1 + 2 ) = - 2 a m g < 0

Uma vez que a segunda derivada é menor que zero, o sistema é instável

θ = 120 ∘

- 2 a m g c o s ⁡ 120 ∘ + 2 c o s ⁡ 2 ⋅ 120 ∘ = = - 2 a m g ( - 0.5 + 2 ⋅ ( - 0.5 ) ) = - 2 a m g ⋅ ( - 1.5 ) > 0

Uma vez que a segunda derivada é maior que zero, o sistema é estável

θ = 240 ∘   - 2 a m g c o s ⁡ 240 ∘ + 2 c o s ⁡ 2 ⋅ 240 ∘ = = - 2 a m g ( - 0.5 + 2 ⋅ ( - 0.5 ) ) = - 2 a m g ⋅ ( - 1.5 ) > 0

Uma vez que a segunda derivada é maior que zero, o sistema é estável

o sistema   é  estável para  θ = 120 ∘ , 240 ∘  e instável para  θ = 0 ∘ , 180 ∘

Resposta

θ = 0 ∘ instável  θ = 180 ∘ instável  θ = 120 ∘ estável θ = 240 ∘ e stável

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A barra AB é fixada ao bloco A que desliza sem atrito na fenda vertical como mostrada na figura. Desprezando o efeito do atrito e o peso das barras, determine o valor de θ correspondente ao equilíbrio
Resolva o problema da 10.25 considerando que a força de 800N é substituída por um binário de 24N ⋅ m no sentido horário aplicado em D.
104- Os colares A e B são conectados por um arame A B e podem deslizar livremente nas barras sem atrito como mostra a figura. Sabendo que o comprimento do arame é 440m m e que o peso W do colar A é 90
O colar B pode deslizar ao longo da barra AC e é fixado por um pino a um bloco que pode deslizar na fenda vertical como mostrado na figura. Deduza uma expressão da intensidade do binário M, necessário
Duas barras idênticas ABC e DBE são conectadas por um pino em B e por uma mola CE. Sabendo que a mola tem comprimento de 4i n quando indeformada e a constante da mola é 8l b / i n , determine a distan