Enunciado

Cada elemento tem uma massa por comprimento m 0 . Determine os ângulos θ e ϕ nos quais eles estão suspensos em equilíbrio. O contato em A é liso, e ambos são conectados por um pino em B .

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar os ângulos θ e ϕ necessários para que o corpo esteja em equilíbrio. Considerando que cada elemento possui massa por unidade de comprimento m 0 .

Então bora lá! Para resolver esse problema, vamos começar analisando o diagrama de corpo livre:

Onde as distâncias y 1 , y 2 e y 3 são:

y 1 = - 3 2 l sen ⁡ α

y 2 = - 3 2 sen ⁡ α + θ + ϕ

y 3 = - l sen ⁡ α cos ⁡ θ + ϕ + cos ⁡ α sen ⁡ θ + ϕ +

- 1 2 l cos ⁡ α cos ⁡ θ + ϕ + 90 ° - sen ⁡ α sen ⁡ θ + ϕ + 90 °

E os pesos W 1 , W 2 e W 3 das hastes:

W 1 = 3 2 l * m 0

W 2 = l * m 0

W 3 = 1 2 l * m 0

Passo 2

Show de bola! Vamos começar então formulando a equação da energia potencial V desse sistema. Como temos atuando apenas os pesos das hastes:

V = V g

V = W 1 y 1 + W 2 y 2 + W 3 y 3

V = 3 2 l * m 0 * - 3 4 l sen ⁡ α + l * m 0 * - l sen ⁡ 180 - α - θ - ϕ +

+ 1 2 l * m 0 * [ - l sen ⁡ α cos ⁡ θ + ϕ + cos ⁡ α sen ⁡ θ + ϕ +

- 1 2 l cos ⁡ α cos ⁡ θ + ϕ - 90 ° - sen ⁡ α sen ⁡ θ + ϕ - 90 ° ]

Passo 3

Grandinha a equação né?

Mas calma, para facilitar nossos cálculos vamos encontrar a relação entre os ângulos θ e ϕ . Começando pelo cálculo da reta  A B - :

A B - = l 2 + l 2 2

A B - = l 5 2

Logo:

cos ⁡ θ + ϕ = 2 5 5

sen ⁡ θ + ϕ = 5 5

θ + ϕ = sen - 1 ⁡ 5 5 = 26,565 °

cos ⁡ θ + ϕ - 90 ° = 0,447

sen ⁡ θ + ϕ - 90 ° = - 0,894

Passo 4

Agora que nós temos a equação da energia potencial do sistema, para analisar o equilíbrio do corpo, podemos fazer a derivada de V em relação a α e o resultado deve ser zero. Ou seja:

d V d α = 0

- 3 2 l m 0 3 2 l cos ⁡ α - l m 0 1 2 l cos ⁡ α 2 5 5 + l m 0 1 2 l cos ⁡ α 5 5 +

+ 1 2 l m 0 - l cos ⁡ α 2 5 5 + l sen ⁡ α 5 5 + 1 2 l sen ⁡ α * 0,447 + 1 2 l cos ⁡ α * 0,894 = 0

- 3,37 l 2 m 0 cos ⁡ α + 0,55 l 2 m 0 sen ⁡ α = 0

3,37 cos ⁡ α = 0,55 sen ⁡ α

3,37 2 cos 2 ⁡ α = 0,55 2 ( 1 - cos 2 ⁡ α )

11,3569 cos 2 ⁡ α + 0,3025 cos 2 ⁡ α = 0,3025

cos 2 ⁡ α = 0,3025 11,6594

cos ⁡ α = 0,1611

α = 80,73 °

Passo 5

E, finalmente, a partir desse ângulo α , podemos determinar θ e ϕ necessários para que a estrutura esteja em equilíbrio:

θ = 90 ° - α

θ = 90 ° - 80,73 °

θ = 9,3 °

Do Passo 3 temos que θ + ϕ = 26,565 ° , logo:

ϕ = 26,565 ° - 9,3 °

ϕ = 17,3 °

É isso, galera. Essa foi grande hein?

Partiu pra próxima!

Resposta

θ = 9,3 °

ϕ = 17,3 °

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Resolva o problema 10.99 se k = 3,6 k N / m , r = 75 m m ,l = 150 m m , e (a) W = 68 N eb W = 272 N .
Sabendo que as molas estão indeformadas quando y = 0 , determine o valor de y para equilíbrio quando W = 80 N ,l = 500 m m e k = 600 N / m m .
Sabendo que as engrenagens têm a mesma massa m , determine as posições de equilíbrio do sistema e determine em cada caso a estabilidade do equilíbrio:
Sabendo que as barras possuem o mesmo comprimento l e o peso da engrenagem em AB é de 13,5N e o da engrenagem da barra CD é 9N, determine as posições de equilíbrio do sistema e determine em cada caso
Desprezando o peso dos blocos, determine 3 posições de equilíbrio para W = 1350 N ,l = 400 m m e k = 13,5 k N / m m