Enunciado

Se  a  função de potencial de um  sistema conservativo com um grau de liberdade é  V = ( 10 cos ⁡ 2 θ + 25 sin ⁡ θ ) J , onde  0 ° < θ < 180 ° , determine as posições de equilíbrio e investigue a estabilidade em cada  posição.

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo beleza? Vamos fazer mais uma questão de Estática.

Este problema nos pede para determinarmos as posições de equilíbrio e que a gente investigue a estabilidade em cada posição. Temos a seguinte função de potencial:

V = ( 10 cos ⁡ 2 θ + 25 sin ⁡ θ )

Sabendo que a posição de equilíbrio é:

d V d θ = 0

Temos:

- 20 sin ⁡ 2 θ + 25 cos ⁡ θ = 0

Portanto:

- 40 sin ⁡ θ + 25 cos ⁡ θ = 0 θ = sin - 1 ⁡ 25 40 = θ 1 = 38,7 °   θ 2 = 141 °

E também:

θ = cos - 1 ⁡ 0 = 90 °

Passo 2

Para determinarmos a estabilidade, temos que obter a segunda derivada de V , e substituirmos em cada ângulo. Fica assim:

d 2 V d θ 2 = - 40 cos ⁡ 2 θ - 25 sin ⁡ θ

Logo, para θ 1 = 38,7 ° , temos:

d 2 V d θ 2 = - 24,4 < 0 → I n s t á v e l

E para θ 2 = 141 ° , temos:

d 2 V d θ 2 = - 24,4 < 0 → I n s t á v e l

Por fim, para θ = 90 ° :

d 2 V d θ 2 = 15 > 0 → E s t á v e l

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

θ 1 = 38,7 °   → I n s t á v e l θ 2 = 141 ° → I n s t á v e l

θ = 90 ° → E s t á v e l

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