Enunciado

Se cada membro da treliça espacial pode sustentar uma força máxima de 600   N sob compressão e 800   N sob tração, determine a maior força F que a treliça pode sustentar.

Passo 1

Para determinar a força F , deve-se fazer o processo padrão para determinar as forças em cada membro aplicando o diagrama de corpo livre usando o método das juntas para cada junta, no qual sejam indicadas todas as forças atuando no respectivo membro.

Para esse caso não é necessário realizar a análise de todos os membros presentes, sendo possível fazer praticamente apenas a análise das juntas A e B por elas conterem todas as forças agindo sobre ambas.

Ao final, as forças dependentes de F serão comparadas aos valores máximos de tração e compressão suportados pela treliça de acordo com o seu caráter trativo ou compressivo a fim de determinar a força desejada.

Passo 2

Então, escolhendo a junta A primeiro e fazendo o seu DCL, tem-se que:

Portanto, a partir destas informações tem-se que para o eixo x :

∑ F x = 0 ⇒ F A E 0,2 0 , 5 4 - F A C 0,2 0,54 = 0

∴ F A E - F A C = 0   1

Para o eixo y :

∑ F y = 0 ⇒ F A B 0,3 0,34 - F A E 0 , 5 0,54 - F A C 0 , 5 0,54 = 0   2

E para o eixo z :

∑ F z = 0 ⇒ F A C 0,5 0,54 + F A E 0,5 0,54 - F A B 0 , 5 0,34 + F = 0   3

Passo 3

Então, como as equações 1 , 2 e 3 formam um sistema de três equações com três variáveis é possível resolver e encontrar o valor das forças que serão a solução. Logo, obtém-se:

F A B = 2,9155 F

F A C = F A E = 1,1023 F

Como a força F A B age sobre a junta, então possui caráter compressivo.

Já as forças F A C e F A E agem sobre os seus respectivos membros e, logo, possuem caráter trativo.

Passo 4

Agora, fazendo o mesmo processo para a junta B :

Com isso, é possível montar as equações do equilíbrio de forças para cada eixo.

Então, para o eixo z será feito:

∑ F z = 0 ⇒ F A B 0,5 0,34 - F B D 0,2 2 0,2 2 = 0

F B D = 2,9155 F 0,5 0,34 2 0,2 2 0,2

F B D = 3,5355 F

Em seguida, para o eixo x :

∑ F x = 0 ⇒ F B E 0,2 2 0,2 2 - F B C 0,2 2 0,2 2 = 0

∴ F B E = F B C

E para o eixo y :

∑ F y = 0 ⇒ F B D 0,2 2 0,2 2 - F A B 0,3 0,34 - F B E 0,2 2 0,2 2 - F B C 0,2 2 0,2 2   = 0

2 F B E 0,2 2 0,2 2 = 3,5355 F 0,2 2 0,2 2 - 2,9155 F 0,3 0,34

F B E = 3,5355 F 0,2 2 0,2 2 - 2,9155 F 0,3 0,34 2 0,2 2 0,4

F B E = F B C = 0,7071 F

Como as forças F B E e F B C agem sobre seus respectivos membros, então possuem caráter trativo.

Já a força F B D possui caráter compressivo por atuar sobre a junta.

Passo 5

Para finalizar, deve-se determinar o valor de F . A fim de realizar isso, os maiores valores de compressão e tração determinados através das análises das juntas devem ser comparados com os valores suportados pela treliça.

Logo, como para compressão o maior valor encontrado é de 3,5355 F , tem-se que o valor suportado pela treliça será de:

3,5355 F = 600

F = 169,71   N

E para tração será de:

1,1023 F = 800

F = 725,77   N

Neste caso, o menor valor obtido irá limitar o valor da força suportada e, portanto, F = 169,71   N será o valor desejado.

Resposta

F = 169,71   N

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