Enunciado

Cada um dos três cabos de aço A- 36 tem diâmetro de 2   mm e comprimentos de L A C = 1,60   m  e L A B = L A D = 2,00   m quando não carregados. Determine a força em cada cabo depois que a massa de 150   kg é suspensa pelo anel em A .

Passo 1

Uma massa de 150   kg está puxando três cabos para baixo.

Características do cabo A C :

  • Aço A- 36 : E = 200   GPa. (Tabelado)
  • Comprimento inicial: L C = 1,60   m .
  • Diâmetro: d = 2   mm .
  • Características dos cabos inclinados ( A B e A D ):

  • Aço A- 36 : E = 200   GPa. (Tabelado)
  • Comprimento inicial: L I = 2,00   m .
  • Diâmetro: d = 2   mm .

O forçamento será o peso de 150   kg ⋅ 9.81   m/s 2 = 1471,50   N

Queremos a força em cada cabo. A sacada dessa questão é saber usar o ângulo pra decompor forças e enxergar como as deformações interagem

Passo 2

Diagrama de corpo livre.

Começamos com as condições de equilíbrio:

∑ F x = 0 → - F B sen θ + F D sen θ = 0 → F B = F D  

Pra facilitar, vamos chamar as forças inclinadas de F I = F B = F D

∑ F y = 0 → F B cos θ + F D cos θ + F C -   1471,50 = 0  

2 cos ( θ ) F I + F C = 1471,50   N

Duas incógnitas, vamos precisar de outra equação.

Passo 3

Por causa do peso, as cordas vão ser esticadas (deformação). O ponto A vai descer, então em tese o ângulo θ vai mudar para algum θ ' . Mas como estamos sempre assumindo pequenas deformações, essa mudança no ângulo é desprezível: θ ≈ θ ' .

Com a aproximação, as retas são praticamente paralelas, e aí o aumento δ I da reta inclinada aparece como na figura acima. Escrevemos

δ A C cos θ = δ I

Nessa condição de compatibilidade, o deslocamento δ I é o quanto as cordas inclinadas esticam na direção delas!

Passo 4

Use a fórmula da relação carga-deslocamento

δ = F   L A   E

F C   L C A   E cos ( θ ) = F I   L I A   E

Pelo triângulo cos θ = 4 / 5 , então

F C = 1,5625 F I

Passo 5

Volte à equação resultante do equilíbrio de forças:

2 ⋅ 4 5 F I + 1,5625 F I = 1471,50   N → F I = 465   N

F C = 1,5625 F I → F C = 727   N

Resposta

Força no cabo A C :   F C = 727   N . Força nos cabos A B e A D : F A B = F A D = 465   N .

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