Enunciado

Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for σ a   a d m =   2,8   M P a , determine a carga P máxima que pode ser aplicada à viga. As seções transversais quadradas das chapas de apoio A ' e   B ' são 50 m m   x   50 m m e 100 m m   x   100 m m , respectivamente

Passo 1

Oláaaa, querido! Cê tá bem?

Queremos encontrar o maior valor de P para as condições do problema.

Ele nos forneceu as dimensões das chapas de apoio A ' e B ' , e a tensão admissível em cada uma delas.

O que a gente precisa fazer é achar P que pode deixar A ' na tensão admissível limite e depois achar P que pode deixar B ' no seu limite. E aí o P máximo para a estrutura é o menor entre essas duas situações.

Por que? Porque o menor P vai ser o que deixa um dos apoios no limite e o outro apoio fica deboas.

Se a gente usar o maior P , significa que um apoio vai estar no limite mas o outro já vai ter ruído porque o limite dele já tinha sido atingido no P menor. Então essa situação não é possível porque precisamos dos dois apoios da viga funcionando para ela fica de pé hehe

Passo 2

Vamos começar achando o valor de P para o limite do apoio A . Vamos achar uma equação que tenha só A y e P   como incógnitas, calculando o somatório de momentos em B .

Adotando o sentido anti-horário como positivo teremos

∑ M b = 0  

- A y ⋅ 4,5 m + 10 k N ⋅ 4,5 m + 10 k N ⋅ 3,0 m + 15 k N ⋅ 1,5 m - P ⋅ 2,5 m = 0

Passo 3

Aí pensa: queremos que o apoio A esteja no limite. Então a força que ele suporta é a força limite que A ' suporta. Para achar ela a gente pode usar a expressão da tensão normal admissível:

σ a a d m = F a A a

A força em A é A y e a área do suporte é A a = l a 2 = 50   m m 2 . E a tensão admissível é σ a a d m = 2,8   M P a . Substituindo essas coisas e isolando A y :

2,8   M P a = A y 50   m m 2

A y = 7000   N = 7 k N

Dica: a resposta inicial deu em newtons porque usamos m m 2 e M P a .

Podemos substituir A y na nossa equação do passo anterior:

- A y ⋅ 4,5 m + 10 k N ⋅ 4,5 m + 10 k N ⋅ 3,0 m + 15 k N ⋅ 1,5 m - P ⋅ 2,5 m = 0

- 7 k N ⋅ 4,5 m + 10 k N ⋅ 4,5 m + 10 k N ⋅ 3,0 m + 15 k N ⋅ 1,5 m = P ⋅ 2,5 m

P = 26,4   k N

Passo 4

Agora vamos achar o valor de P para o limite do apoio B . Vamos achar uma equação que tenha só B y e P   como incógnitas, calculando o somatório de momentos em A .

Adotando o sentido anti-horário como positivo teremos

∑ M a = 0  

B y ⋅ 4,5 m - 10 k N ⋅ 1,5 m - 15 k N ⋅ 3 m - 10 k N ⋅ 4,5 m - P ⋅ 7 m = 0

Passo 5

Aí pensa: queremos que o apoio B esteja no limite. Então a força que ele suporta é a força limite que B ' suporta. Para achar ela a gente pode usar a expressão da tensão normal admissível de novo:

σ b a d m = F b A b

A força em B é B y e a área do suporte é A b = l b 2 = 10 0   m m 2 . E a tensão admissível é σ b a d m = 2,8   M P a . Substituindo essas coisas e isolando B y :

2,8   M P a = B y 10 0   m m 2

B y = 28 000   N = 28 k N

Podemos substituir B y na nossa equação do passo anterior:

B y ⋅ 4,5 m - 10 k N ⋅ 1,5 m - 15 k N ⋅ 3 m - 10 k N ⋅ 4,5 m - P ⋅ 7 m = 0

28 ⋅ 4,5 m - 10 k N ⋅ 1,5 m - 15 k N ⋅ 3 m - 10 k N ⋅ 4,5 m - P ⋅ 7 m = 0

P = 3   k N

Como a gente quer o menor valor de P entre os dois casos testados, vamos ter que

P a d m = 3 k N

Resposta

P a d m = 3 k N

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