Enunciado

Uma caixa de 2,5 kg é arremessada com uma velocidade de 6 m/s em A   sobre a pista lisa circular vertical. Determine o ângulo θ quando a caixa deixa a pista.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa da caixa: 2,5 kg;

Velocidade em A : v A = 6 m/s;

Pista lisa: força de resistência à tração F f pode ser desprezada;

Pista circular: trajetória curva;

Raio: ρ = 1,2 m.

Ângulo em A : θ A = 0 °

Nosso objetivo é determinar o ângulo θ em que a caixa deixa a pista, ou seja, que descola do chão. Como o corpo estará descolado da pista, a força normal será nula ( N = 0 ) .

Primeiramente, desenharemos o Diagrama de Corpo Livre da caixa.

Onde W = força peso

N = força normal resultante

a t = aceleração tangencial

a n =aceleração normal

Lembre-se que a aceleração normal a n deve apontar no sentido positivo do eixo normal n . Como a aceleração tangencial a t é desconhecida, vamos supor que ela atue na direção de t positiva.

Sabemos que g = 9,81 m/s2 e que

W = M g

a t = d v d t

a n = v 2 ρ

Passo 2

Agora, utilizaremos as Equações do Movimento. Sabemos que

N = 0

a n = v 2 ρ = v 2 1,2

Aplicando a Equação do Movimento no sentindo do eixo t , temos

∑ F t = m a t

- W sen ⁡ θ = M a t

- 2,5 ( 9,81 ) sen ⁡ θ = 2,5 a t

a t = - 9,81 sen ⁡ θ

Aplicando a Equação do Movimento no sentindo do eixo n , temos

∑ F n = m a n

- W cos ⁡ θ = M a t

- 2,5 ( 9,81 ) cos ⁡ θ = 2,5 v 2 1,2  

v 2 = - 11,77 cos ⁡ θ

Passo 3

Sabemos que, pela relação da cinemática,

v   d v = a t   d s

Logo,

v   d v = - 9,81 sen ⁡ θ   d s

Devemos estabeler uma relação entre d s e o ângulo θ para conseguir desenvolver a questão. Utilizando a relação geométrica s = θ ρ , onde d s = ρ d θ , temos que

d s = r   d θ = 1,2   d θ

Finalmente temos a relação

v   d v = - 9,81 sen ⁡ θ   ( 1,2   d θ )  

Esta é uma EDO homogênea linear de 1o ordem. Utilizaremos as condições iniciais v A = 6 m/s e θ A = 0 ° para resolver a EDO.

∫ 6 v v d v = ∫ 0 θ - 9,81 sen ⁡ θ ( 1,2   d θ )  

v 2 2 6 v = 11,77 cos ⁡ θ 0 θ

v 2 2 - 6 2 2 = 11,77 cos ⁡ θ - 11,77 cos ⁡ 0 °

v 2 2 = 36 2 + 11,77 cos ⁡ θ - 1

v 2 = 36 + 23,54 cos ⁡ θ - 23,54

v 2 = 12,46 + 23,54 cos ⁡ θ

Passo 4

Agora iremos igualar o valor de v 2 obtido no Passo 2 com o obtido no Passo 3.

v 2 = - 11,77 cos ⁡ θ = 12,46 + 23,54 cos ⁡ θ

Logo,

- 11,77 cos ⁡ θ = 23,54 cos ⁡ θ + 12,46

23,54 cos ⁡ θ + 11,77 cos ⁡ θ = - 12,46

35,31 cos ⁡ θ = - 12,46

cos ⁡ θ = - 0,353

θ = 110,66 ° = 111 °

Resposta

θ = 111 °

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