Enunciado

A caixa uniforme de 50 kg repousa sobre a plataforma para a qual o coeficiente de atrito estático é μ s = 0,5 . Se os membros-apoio têm uma velocidade angular ω = 1 rad/s, determine a maior aceleração angular α que eles podem ter de maneira que a caixa não deslize ou tombe no instante θ = 30 ° .

Passo 1

Para a resolução desse exercício, iremos adotar a aceleração da gravidade local g = 9,81 m/s².

Primeiramente devemos decompor a velocidade, e consequente aceleração angular fornecida, em suas componentes normal e tangencial da seguinte forma:

a G n = ω 2 r = 1 2 4 → a G n = 4   m / s 2

a G t = α 4   m / s 2

Agora, podemos analisar a equivalência do sistema conforme as ilustrações a seguir:

Passo 2

Agora, iremos encontrar todas as equações de movimento do sistema, aplicando somatório de momentos em torno do centro de massa da caixa e o somatório de forças nos eixos x e y:

↻ + ∑ M G = M k G

N C x - F C 0,75 = 0

A distância x representa a posição do ponto C, que é o ponto inferior da caixa onde a mesma está apoiada e cuja localização ainda não é conhecida.

+ → ∑ F x = m a G x

F C = 50 4 s e n 30 ° + 50 α 4 c o s 30 °

+ ↑ ∑ F y = m a G y

N C - 50 9,81 = 50 4 c o s 30 ° - 50 α 4 s e n 30 °

Passo 3

Agora, iremos testar as hipóteses do problema. Começaremos assumindo que a caixa está na condição limite de escorregamento, ou seja:

F C = μ s N C = 0,5 N C

Substituindo esse valor na primeira equação do passo 2 para encontrar a posição x, obtemos:

N C x - F C 0,75 = 0

N C x - 0,5 N C 0,75 = 0

x = 0,375   m

O que seria impossível, uma vez que a largura da caixa é de 0,5 m e a distância x é avaliada a partir do centro da mesma, logo, essa condição não é atendida, ou seja, a caixa não desliza.

Sendo assim, analisaremos o caso limite onde a caixa tombaria, logo, o ponto de apoio está justamente em sua extremidade:

x = 0,25   m

Substituindo esse valor na equação 1 do passo 2, temos:

N C x - F C 0,75 = 0

N C 0,25 - F C 0,75 = 0

N C = 3 F C

Substituindo esse valor na terceira equação do passo 2, temos:

N C - 50 9,81 = 50 4 c o s 30 ° - 50 α 4 s e n 30 °

3 F C - 50 9,81 = 50 4 c o s 30 ° - 50 α 4 s e n 30 °

F C = 221,23 - 33,333 α

E, por fim, substituindo o valor encontrado de F C na segunda equação do passo 2, obtemos:

F C = 50 4 s e n 30 ° + 50 α 4 c o s 30 °

221,23 - 33,333 α = 50 4 s e n 30 ° + 50 α 4 c o s 30 °

206,538 α = 121,23

α = 0,587   r a d / s 2

Resposta

α = 0,587   r a d / s 2

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