Enunciado

Quando x = 3   m , o caixote tem uma velocidade escalar de 6   m / s que está aumentando a 1,8   m / s 2 . Determine a direção da velocidade do caixote e a intensidade da aceleração do caixote nesse instante.

Passo 1

Precisamos determinar a direção da velocidade e a intensidade da aceleração. Como temos o caixote descendo a rampa, podemos dizer que a direção da velocidade é curvilínea para baixo. Como já nos foi dado a sua componente tangencial, só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

ρ = 1 + d y d x 2 3 / 2 d 2 y d x 2

Obtido a função para o raio da curvatura, basta substituir o valor de x = 3 que obtemos o raio. Depois disto, basta utilizar as equações da cinemática para determinarmos a aceleração.

Passo 2

Antes de calcularmos a componente normal, precisamos determinar o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a função que governa a nossa curva duas vezes. Sendo assim:

y ' = d y d x = x 4

y ' ' = d 2 y d x 2 = 1 4

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

ρ = 1 + x 4 2 3 / 2 1 4

Quando x = 3 , temos:

ρ = 7,8   m

Passo 3

Agora, para calcularmos as componentes da aceleração, podemos substituir os valores diretamente nas suas equações. Como o termo tangencial já foi dado e é igual a a t = 1,8   m / s 2 , pois a velocidade é constante, calcularemos a componente normal. Sendo assim, temos:

a n = v 2 ρ = 6 2 7,8 = 4,6   m / s 2

Portanto, calculando a intensidade da aceleração, temos:

a = a n 2 + a t 2

a = 4,6 2 + 1,8 2

a = 4,95   m / s 2

Resposta

a = 4,95   m / s 2

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